Questão 23
O nível d’água é controlado por uma comporta plana de espessura uniforme. A largura da comporta, normal ao plano da figura, é
. Determine a massa M necessária para manter o nível à profundidade H , ou menos, se a massa da comporta for desconsiderada. Resposta:
slug
Passo 1
O enunciado (imagem) nos dá os seguintes dados (peguei esses valores da figura enviada):
- largura da comporta (normal ao plano da figura):
. - profundidade vertical do nível de água até a borda inferior da comporta:
. - ao longo da superfície inclinada da comporta estão indicados dois comprimentos que somam a placa inteira:
(distância ao longo da placa desde o topo até a articulação/apoio) e (distância ao longo da placa desde a articulação até a ponta inferior). Logo o comprimento total da placa é . - a massa
está presa na ponta inferior da comporta e age verticalmente (peso ). A massa da comporta é desprezada. - queremos achar a massa
necessária para manter a comporta fechada (equilíbrio de momento sobre a articulação).
O que devemos fazer: calcular a resultante hidrostática sobre a placa plana inclinada (módulo e linha de ação), calcular o momento dessa resultante em torno da articulação, igualar esse momento ao momento produzido pelo peso
aplicado na ponta, e resolver para
.
Passo 2
Relembre (aula curta e concreta): pressão hidrostática em profundidade vertical
é
onde
é o peso específico da água. Vou usar
(valor padrão).
Para uma placa plana inclinada de largura e comprimento
, tome a coordenada
medida ao longo da placa desde o topo (
no topo,
na ponta inferior). A profundidade vertical de um elemento na posição
é
Para uma placa plana inclinada de largura
onde
é o ângulo da placa com a horizontal. Note que
porque a projeção vertical da placa é
. Assim
Um elemento de área (faixa) de comprimento
e largura
tem força elementar
Passo 3
Cálculo da resultante hidrostática
(módulo): integrar
de
até
:
Substituindo valores (
):
Observação pedagógica: a força total cresce com a área e com a profundidade média (aqui já embutida na integral).
Passo 4
Localização da resultante ao longo da placa (posição do centro de pressão medida a partir do topo):
Usando a expressão de
do passo anterior simplifica-se para
Com
obtemos
a partir do topo (ou seja, a resultante atua a
do topo ao longo da placa).
Passo 5
Momento da resultante em torno da articulação (hinge). A articulação está localizada a uma distância
do topo igual a
. A linha de ação da força hidrostática é normal à placa; o braço de alavanca (perpendicular) entre a articulação e a linha de ação é simplesmente a diferença ao longo da placa:
(O motivo geométrico: a resultante é normal à placa, assim o menor braço perpendicular, medido no plano da placa, é a diferença de coordenadas ao longo da placa.) Portanto o momento que tende a abrir a comporta (em torno da articulação) é
Passo 6
Momento causado pelo peso
da massa
pendurada na ponta inferior da placa. A ponta está em
; a distância ao longo da placa desde a articulação até a ponta é
. A linha de ação do peso é vertical; o braço perpendicular (distância horizontal no plano) entre a articulação e o peso é a componente horizontal desse trecho:
Calcule
Logo
O momento devido ao peso (tendendo a fechar a comporta) é
Passo 7
Equilíbrio de momentos (momento do peso fecha a comporta e deve igualar o momento hidrostático que abre):
Isolando
,
Usando
,
Interpretação: isso significa que uma massa de aproximadamente
slugs (peso aproximado
) é necessária para gerar o momento que equilibra o esforço hidrostático calculado.