Questão 23. Use a definição de valor médio de uma função dada na Questão 15 para encontrar o valor médio da função f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} na região anular a^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq b^{2}, onde 0<a<b. (Resp.: \frac{2}{a+b}.)

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} na região anular
a^2 \le x^2+y^2 \le b^2,
com 0<a<b. O conteúdo é o cálculo de valor médio via integral dupla e usamos coordenadas polares.

Passo 2

A definição de valor médio de f em D é
m = \frac{1}{\mathrm{Area}(D)} \iint_{D} f(x,y)\,dA.
Para o anel,
\mathrm{Area}(D) = \pi b^2 - \pi a^2 = \pi\,(b^2 - a^2).

Passo 3

Em coordenadas polares (r,\theta) temos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA = r\,dr\,d\theta e
f(r,\theta)=\frac{1}{r}.
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\iint_{D}f(x,y)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{a}^{b} \frac{1}{r}\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{a}^{b}1\,dr\,d\theta = 2\pi\,(b - a).

Passo 4

Substituindo na definição do valor médio,
m = \frac{2\pi\,(b - a)}{\pi\,(b^2 - a^2)} = \frac{2\pi\,(b - a)}{\pi\,(b - a)\,(b + a)} = \frac{2}{a + b}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{a+b}

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