Questão 25. A área de uma superfície com equação z=f(x, y), \operatorname{com}(x, y) \in D, onde f_{x} e f_{y} são contínuas, é
A(D)=\iint_{D} \sqrt{1+\left[f_{x}(x, y)\right]^{2}+\left[f_{y}(x, y)\right]^{2}} d A
Use isto para encontrar a área de cada superfície dada.
A parte do plano z=2+3 x+4 y que está acima do retângulo 0,5] \times[1,4]\).

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano z=2+3x+4y sobre o retângulo
D = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 5,\;1 \le y \le 4\}.
O conteúdo usado é a fórmula de área de superfície
A(D)=\iint_{D}\sqrt{1+\bigl[f_{x}(x,y)\bigr]^{2}+\bigl[f_{y}(x,y)\bigr]^{2}}\;dA,
onde f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f(x,y).

Passo 2

Como f(x,y)=2+3x+4y, as derivadas parciais são constantes:
f_{x}(x,y)=3, \quad f_{y}(x,y)=4.

Passo 3

Substituindo embaixo da raiz:
1+\bigl[f_{x}\bigr]^{2}+\bigl[f_{y}\bigr]^{2} =1+3^{2}+4^{2} =1+9+16 =26.
Logo o integrando é a constante \sqrt{26}, e
A(D) =\iint_{D}\sqrt{26}\;dA =\sqrt{26}\,\iint_{D}dA.

Passo 4

O retângulo D tem largura 5-0=5 e altura 4-1=3, então
\iint_{D}dA = 5\cdot 3 = 15.
Portanto
A(D) = 15\,\sqrt{26}.

Resposta

A área da superfície é 15\sqrt{26}.

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