Questão 2:(3,5 pt)

Uma corda,com densidade linear de 40,0 \mathrm{~g} / \mathrm{m} ,é afinada a uma frequência fundamental igual a 20,0 \mathrm{~Hz}(a menor frequência audível pelo ser humano).Quais são a frequência e o comprimento de onda das ondas sonoras produzidas no ar quando a corda está vibrando em sua frequência fundamental?A velocidade do som no ar a 20^{\circ} \mathrm{C} é 344 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Densidade linear da corda: \mu = 40{,}0\\ \mathrm{g/m}.
    Observação: isto é igual a \mu = 0{,}0400\\ \mathrm{kg/m} após converter gramas para quilogramas ( 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}).
  • Frequência fundamental da corda: f_{\text{corda}} = 20{,}0\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar à 20^\circ\mathrm{C}: v_{\text{ar}} = 344\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pergunta:
  1. Qual é a frequência das ondas sonoras no ar quando a corda vibra em sua frequência fundamental?
  2. Qual é o comprimento de onda dessas ondas sonoras no ar?

Passo 2

Conceito importante (explicado como se estivéssemos na prova): quando um objeto vibrante (a corda) transmite som ao ar, as compressões e rarefações no ar ocorrem com a mesma taxa de repetição da vibração da fonte. Essa taxa é a frequência. Logo, a frequência do som emitido pelo ar é igual à frequência com que a corda vibra (assumindo acoplamento linear simples, que é o caso típico).
Em palavras simples: se a corda faz 20 oscilações por segundo, o ar recebe 20 pulsações por segundo — então o som também tem 20\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Aplicando o conceito do passo anterior, a frequência do som no ar é
f_{\text{som}} = f_{\text{corda}} = 20{,}0\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Agora precisamos do comprimento de onda. A relação fundamental para uma onda harmônica é
v = f\,\lambda,
onde:
  • v é a velocidade da onda no meio (aqui, v_{\text{ar}} = 344\\ \mathrm{m/s}),
  • f é a frequência da onda ( f_{\text{som}} = 20{,}0\\ \mathrm{Hz}),
  • \lambda é o comprimento de onda (o que queremos achar).
Essa fórmula vem do fato que em cada segundo a onda avança uma distância igual ao número de ciclos por segundo multiplicado pelo comprimento de cada ciclo.

Passo 5

Isolando \lambda na fórmula v=f\lambda, obtemos
\lambda = \frac{v}{f}.
Substituindo os valores dados:
\lambda = \frac{344\\ \mathrm{m/s}}{20{,}0\\ \mathrm{Hz}}.
Como 1\\ \mathrm{Hz}=1\\ \mathrm{s^{-1}}, as unidades ficam \mathrm{m/s}\div\mathrm{s^{-1}}=\mathrm{m}. Calculando o quociente:
\lambda = 17{,}2\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Resumo e observações rápidas para a prova:
  • A frequência sonora é a mesma da frequência da corda: não há necessidade de usar a densidade linear \mu para responder as perguntas feitas (essa \mu seria necessária se pedissem, por exemplo, a tensão na corda ou a velocidade de ondas na corda).
  • O comprimento de onda obtido é relativamente grande ( 17{,}2\\ \mathrm{m}) porque 20{,}0\\ \mathrm{Hz} é uma frequência muito baixa; o som de 20\\ \mathrm{Hz} tem ondas longas no ar.

Resposta

\text{Frequência: }20{,}0\\ \mathrm{Hz}ê
\text{Comprimento de onda: }17{,}2\\ \mathrm{m}

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