Um dos jogos mais divertidos para todo físico que se preze é o famigerado arremesso de elétrons no alvo. Caravanas de competidores e expectadores se formam para que todos possam prestigiar e aproveitar um evento fantástico. Na competição de 2024, estabeleceu-se que os elétrons seriam arremessados de uma distância
em relação aos detectores alvo, e que por motivos de preguiça dos árbitros, não seriam consideradas correções relativísticas. Considere que estes elétrons, inicialmente em repouso, são acelerados ao longo do eixo
por uma diferença de potencial de 20 eV , na direção de um alvo. Determine:
a) O tempo gasto para um elétron percorrer a distância
até o alvo, desprezando quaisquer efeitos de incerteza (ou seja, um cálculo puramente clássico).
b) Discuta qualitativamente o que aconteceria com a noção de “tempo de chegada” se tentássemos preparar o elétron em um estado com momento
perfeitamente definido (
). Seria possível, neste cenário idealizado, prever o instante em que o elétron atinge o alvo? Justifique usando o Princípio da Incerteza.
c) Considerando agora a ideia de uma incerteza no momento
, determine quais seriam nossos tempos mínimo
e máximo
para o qual observaríamos o elétron colidir com o detector.
d) Suponha agora que, além da aceleração ao longo de
, o elétron também sofra uma pequena aceleração “vertical” ao longo do eixo
, equivalente a ser acelerado por 500 meV nessa direção.
i) Calcule o momento linear final do elétron
e o ângulo
que sua trajetória faz com o eixo
ao atingir o alvo (ainda em uma visão clássica).
ii) Se, ao ser preparado, o feixe de elétrons passa por uma fenda (ou possui uma limitação natural) que restringe sua posição vertical inicial com uma incerteza
, qual a mínima incerteza
introduzida no momento vertical devido a essa restrição?
iii) Estime a ordem de grandeza da abertura angular
(em radianos) do feixe na direção
devido a essa incerteza
. Compare
com o ângulo de deflexão clássico
calculado
. (Dica: Para pequenos ângulos,
a abertura angular pode ser estimada por
.
Dados: Massa do elétron
; Carga elementar
.
a) O tempo gasto para um elétron percorrer a distância
b) Discuta qualitativamente o que aconteceria com a noção de “tempo de chegada” se tentássemos preparar o elétron em um estado com momento
c) Considerando agora a ideia de uma incerteza no momento
d) Suponha agora que, além da aceleração ao longo de
i) Calcule o momento linear final do elétron
ii) Se, ao ser preparado, o feixe de elétrons passa por uma fenda (ou possui uma limitação natural) que restringe sua posição vertical inicial com uma incerteza
iii) Estime a ordem de grandeza da abertura angular
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e os dados que nos são fornecidos (tudo que eu uso abaixo foi retirado do enunciado):
-
Pedidos:
a) Calcular o tempo que um elétron demora para percorrer a distânciaaté o detector, assumindo mecânica clássica não-relativística.
b) Discutir qualitativamente o que acontece com a noção de “tempo de chegada” se o momentofosse perfeitamente definido ( ), usando o Princípio da Incerteza.
c) Com, estimar os tempos mínimo e máximo em que o elétron poderia atingir o detector.
d) Agora há também uma aceleração no eixoequivalente a . Pedidos:
(i) calcular os momentos lineares finaise e o ângulo da trajetória (visão clássica);
(ii) se a incerteza inicial na posição vertical é, calcular a menor incerteza introduzida;
(iii) estimar a ordem de grandeza da abertura angulare comparar com . -
Dados numéricos fornecidos (peguei do enunciado):
-
. - Diferença de potencial ao longo de
: . - Diferença de potencial ao longo de
: . - Incerteza de momento pedida em (c):
. - Incerteza vertical de posição em (d-ii):
. - Constantes (usadas em todos os cálculos):
-
. -
. -
. -
.
-
-
A partir daqui eu calculo passo a passo cada item, explicando as fórmulas e cada substituição numérica.
Passo 2
(a) — Converter energia (eV) para energia cinética em joules e transformar em velocidade clássica.
- Conceito usado: um elétron acelerado por uma diferença de potencial
ganha energia cinética igual a . Se o elétron parte do repouso, sua energia cinética final clássica é
onde
é a massa do elétron e
sua velocidade final. Então, para achar
,
Explicando variáveis:
-
é a energia cinética em joules; -
é a massa do elétron; -
é a velocidade resultante. -
Primeiro converto
para joules:
- Agora a velocidade:
Faço a conta em etapas:
(Aqui eu usei que
e a raiz de
é
.)
- Tempo necessário para percorrer
na mecânica clássica (assumindo velocidade constante ):
Em unidades mais intuitivas, isso é aproximadamente
.
Passo 3
(b) — Discussão qualitativa sobre ter
e o Princípio da Incerteza.
- Enunciado do princípio que uso: a versão usual da incerteza de Heisenberg para posição e momento é
onde
e
são as incertezas (desvios típicos) na posição e no momento, respectivamente. Essa desigualdade diz que se uma das incertezas é extremamente pequena, a outra precisa ser grande.
-
Se hipoteticamente
(momento perfeitamente definido), então da desigualdade teríamos , o que força . Em palavras: um momento perfeitamente definido implica que a partícula está completamente deslocalizada ao longo de (não se pode atribuir uma posição inicial bem definida). -
Consequência para o “tempo de chegada”: o tempo clássico de chegada seria
se for a posição inicial conhecida. Mas se está totalmente indefinida (distribuição espalhada por todo o espaço), não se pode prever o instante em que o elétron atingirá o detector — a incerteza no tempo de chegada seria (praticamente) infinita. Em termos físicos: preparar destrói a informação sobre onde (e portanto quando) a partícula vai colidir; não é possível prever o instante de colisão com precisão. -
Comentário extra (intuitivo): além disso, estados de momento bem definidos são ondas planas infinitas, não localizadas, portanto qualquer noção de "chegada em
" perde sentido prático. Conclusão curta: não, não seria possível prever o instante de chegada; a incerteza de posição diverge e com isso o tempo de chegada fica indeterminado.
Passo 4
(c) — Com
: estimar os tempos mínimo e máximo de chegada.
- Primeiro, usamos a incerteza posição–momento para achar a incerteza mínima de posição associada a essa
:
Substituindo:
Ou seja, a posição inicial do elétron está indefinida em cerca de
.
- Efeito dessa
sobre o tempo de chegada: se a velocidade média for , a variação de tempo causada por não saber a posição inicial é aproximadamente
Substituindo
e
já calculado:
Isso é da ordem de femtossegundos — desprezível diante do tempo total de
.
- Agora o efeito da incerteza de momento na velocidade: a incerteza de velocidade é
. Então
Essa
causa uma incerteza no tempo de chegada aproximada por diferenciação de
:
(Justificativa rápida:
; tomamos a magnitude.)
Substituindo números:
Substituindo números:
Isso é da ordem de
, muito maior que
.
- Portanto o espalhamento total de tempos de chegada será dominado por
. Tomando o tempo médio , estimamos
Numéricamente (mantendo as cifras relevantes):
Observação: a contribuição de
é tão pequena (
) que não altera significativamente os dígitos mostrados; o spread efetivo é dominado por
(aprox.
).
Passo 5
(d-i) — Agora a componente vertical: calcular
,
clássicos e o ângulo
.
- Método: para cada direção usamos a relação clássica entre energia cinética e momento:
As energias são:
-
(já calculado). -
-
Cálculo de
:
Já que
foi calculado antes, também vale
. Usando
,
- Cálculo de
:
Faço as contas:
- Ângulo
da trajetória em relação ao eixo (ângulo pequeno, mas calculamos exatamente usando arctan):
Em graus,
(apenas referência; mantemos radianos como pedido).
Passo 6
(d-ii) — Incerteza mínima
devido à restrição de posição vertical
.
- Uso do princípio de incerteza:
Substituindo
:
Essa é a incerteza mínima no momento vertical imposta pela limitação espacial vertical do feixe.
Passo 7
(d-iii) — Estimar a abertura angular
e comparar com
.
- Para pequenos ângulos a dica dada vale e a abertura pode ser estimada por
Substituindo
e
:
- Comparação com o ângulo clássico
: - A abertura angular quântica
é muito maior que a deflexão clássica . Numericamente,
- Em palavras: a limitação espacial de
impõe uma incerteza de momento vertical tão grande que o feixe “espalha” (tem abertura angular) muito maior do que a pequena deflexão que a aceleração vertical clássica produziria. Isso significa que, na prática, não veríamos claramente essa pequena deflexão vertical — o espalhamento quântico decorrente da preparação espacial do feixe a obscureceria.
- A abertura angular quântica
Resposta
(a)
(aprox.
).
(b) Não seria possível prever o instante de chegada: implica
pela relação
, logo a posição (e portanto o tempo de chegada) ficaria indeterminado.
(c) Tempo médio . Estimativa dos extremos dominada por
:
,
(spread
).
(d-i) ,
,
.
(d-ii) .
(d-iii) , que é muito maior do que
(portanto a incerteza quântica domina a deflexão clássica).
(b) Não seria possível prever o instante de chegada:
(c) Tempo médio
(d-i)
(d-ii)
(d-iii)