Questão. 4. (24 pentos) Use o método da Thansformada de Laplace para obter a solução do PVI dado por \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}=5 u(t-2) \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
Expliquei isso porque vamos transformar a EDO inteira e essas fórmulas permitem transformar as derivadas em funções algébricas de s.
Transformada do degrau deslocado: se u(t-a) é o degrau unitário em t=a, então
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\frac{e^{-a s}}{s}.
Teorema do deslocamento no tempo (segunda regra de deslocamento): se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-a s}F(s).
Isso servirá para voltar do domínio s para t quando aparecer um fator e^{-a s}.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e usando as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0,
Interpretação prática (útil para a prova): a presença do u(t-2) mostra que a resposta y(t) só “liga” quando o degrau entra em t=2. Antes de 2 temos y(t)=0. Para t\ge2 a dinâmica responde como se o forçamento fosse uma constante aplicado a partir de t=2, e a solução obtida utiliza exatamente o deslocamento do tempo via o fator e^{-2s} na transformada.