(5 pontos) Calcule o coeficiente de atrito estático
\mu_{e}=\tan \theta_{\max }
e o erro associado a ele
\varepsilon_{\mu}=\frac{\varepsilon_{\theta}}{\cos ^{2} \theta_{\max }}
para cada um dos materias descritos na tabela acima. Escreva todos na forma final \bar{\mu} \pm \varepsilon_{\mu} com o número de algarismos significativos e em notação científica.
Ordem de Medições Madeira envernizada Aço Alumínio Cobre Latão
1 16,0 11,0 14,0 17,0 11,0
2 17,0 12,5 15,0 17,0 9,0
3 14,0 12,0 16,0 17,0 10,0
4 15,5 12,0 15,0 16,0 11,0
5 16,0 11,0 15,0 15,0 10,0

\captionsetup{labelformat=empty}
Table 1: Tabela 1. Medições do ângulo máximo para o qual um corpo sobre uma plataforma inclinada permanece em repouso.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos (peguei os números da tabela fornecida):
  • Pede calcular, para cada material, o coeficiente de atrito estático \mu_{e}=\tan \theta_{\max } e o erro associado \varepsilon_{\mu}=\dfrac{\varepsilon_{\theta}}{\cos^{2}\theta_{\max }}, e apresentar cada resultado na forma final \bar{\mu}\pm\varepsilon_{\mu} com números significativos e em notação científica.
  • Dados (ângulos \theta_{\max} em graus; estes valores foram extraídos da tabela):
    • Madeira envernizada: \;16{,}0,\;17{,}0,\;14{,}0,\;15{,}5,\;16{,}0.
    • Aço: \;11{,}0,\;12{,}5,\;12{,}0,\;12{,}0,\;11{,}0.
    • Alumínio: \;14{,}0,\;15{,}0,\;16{,}0,\;15{,}0,\;15{,}0.
    • Cobre: \;17{,}0,\;17{,}0,\;17{,}0,\;16{,}0,\;15{,}0.
    • Latão: \;11{,}0,\;9{,}0,\;10{,}0,\;11{,}0,\;10{,}0.

Passo 2

Plano e fórmulas que vou usar (aulas rápidas de teoria e de método — sem pular etapas):
  • Média aritmética (média das medições). Para N medições x_i:
    \bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i.
    Aqui x_i são os ângulos em graus; N=5.
  • Desvio-padrão amostral (medida de dispersão das medições):
    s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^{2}}.
    Explicação: usa N-1 no denominador para corrigir o viés (estimador amostral).
  • Erro da média (incerteza da média das medições), chamado erro tipo estatístico:
    \varepsilon_{\theta,\text{deg}}=\frac{s}{\sqrt{N}}.
    Aqui fica em graus; precisamos converter para radianos antes de propagar para \mu.
  • Conversão graus → radianos (porque as derivadas trigonométricas usam radianos):
    \theta_{\text{rad}}=\theta_{\text{deg}}\cdot\frac{\pi}{180},\qquad \varepsilon_{\theta}=\varepsilon_{\theta,\text{deg}}\cdot\frac{\pi}{180}.
    Vou usar \pi\approx3{,}1415926536 e \dfrac{\pi}{180}\approx0{,}01745329252.
  • Propagação do erro para \mu=\tan\theta. A derivada é \dfrac{d\mu}{d\theta}=\operatorname{sec}^{2}\theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}. Assim, para pequenas incertezas
    \varepsilon_{\mu}=\left|\frac{d\mu}{d\theta}\right|\varepsilon_{\theta} =\frac{\varepsilon_{\theta}}{\cos^{2}\theta}.
    Observação: aqui \theta e \varepsilon_{\theta} devem estar em radianos.
  • Regra prática de algarismos significativos para apresentar o resultado: vou arredondar a incerteza \varepsilon_{\mu} para 1 algarismo significativo (a menos que comece com 1, caso raro), e então arredondar o valor central \bar{\mu} de forma compatível com a casa decimal da incerteza.

Passo 3

Cálculos para Madeira envernizada (usei as medições da tabela citadas em

Passo 4

  1. Calcular média em graus:
\bar{\theta}_{\text{deg}}=\frac{16{,}0+17{,}0+14{,}0+15{,}5+16{,}0}{5}=\frac{78{,}5}{5}=15{,}7^\circ.
  1. Calcular desvio-padrão amostral s (graus). Primeiro desvios ao quadrado:
(16{,}0-15{,}7)^{2}=0{,}09,\; (17{,}0-15{,}7)^{2}=1{,}69,\; (14{,}0-15{,}7)^{2}=2{,}89,
(15{,}5-15{,}7)^{2}=0{,}04,\; (16{,}0-15{,}7)^{2}=0{,}09.
Soma =4{,}80. Então
s=\sqrt{\frac{4{,}80}{5-1}}=\sqrt{1{,}20}=1{,}095445\\ \text{(graus)}.
  1. Erro da média em graus:
\varepsilon_{\theta,\text{deg}}=\frac{s}{\sqrt{5}}=\frac{1{,}095445}{2{,}236068}=0{,}4899^\circ.
  1. Converter média e erro para radianos:
\bar{\theta}=\;15{,}7\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}274889\\ \text{rad}, \qquad \varepsilon_{\theta}=0{,}4899\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}008554\\ \text{rad}.
  1. Calcular \bar{\mu}=\tan\bar{\theta} e \varepsilon_{\mu}=\dfrac{\varepsilon_{\theta}}{\cos^{2}\bar{\theta}}:
\bar{\mu}=\tan(0{,}274889)=0{,}282108\quad(\text{aprox.}),
\cos(0{,}274889)=0{,}962457\quad\Rightarrow\quad\cos^{2}=0{,}926323,
\varepsilon_{\mu}=\frac{0{,}008554}{0{,}926323}=0{,}009236.
  1. Arredondamento: \varepsilon_{\mu}\approx0{,}009 (1 algarismo significativo, 9\times10^{-3}). Ajusto \bar{\mu} para a mesma precisão: \bar{\mu}=0{,}282.
  2. Em notação científica e com vírgula decimal:
\text{Madeira: }\; \bar{\mu}\pm\varepsilon_{\mu}=\left(2{,}82\pm0{,}09\right)\times10^{-1}.

Passo 5

Cálculos para Aço (usei as medições da tabela):
  1. Média em graus:
\bar{\theta}_{\text{deg}}=\frac{11{,}0+12{,}5+12{,}0+12{,}0+11{,}0}{5}=\frac{58{,}5}{5}=11{,}7^\circ.
  1. Desvio-padrão amostral:
    Desvios ao quadrado: 0{,}49,\;0{,}64,\;0{,}09,\;0{,}09,\;0{,}49. Soma =1{,}80.
s=\sqrt{\frac{1{,}80}{4}}=\sqrt{0{,}45}=0{,}67082^\circ.
  1. Erro da média em graus:
\varepsilon_{\theta,\text{deg}}=\frac{0{,}67082}{\sqrt{5}}=0{,}3000^\circ.
  1. Converter para rad:
\bar{\theta}=11{,}7\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}204204\\ \text{rad}, \qquad \varepsilon_{\theta}=0{,}3000\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}005236\\ \text{rad}.
  1. Calcular \bar{\mu} e \varepsilon_{\mu}:
\bar{\mu}=\tan(0{,}204204)=0{,}207113,
\cos(0{,}204204)=0{,}979223\Rightarrow\cos^{2}=0{,}958864,
\varepsilon_{\mu}=\frac{0{,}005236}{0{,}958864}=0{,}005459.
  1. Arredondamento: \varepsilon_{\mu}\approx0{,}005 (1 alg. signif.). Ajustando a média: \bar{\mu}=0{,}207.
  2. Notação científica:
\text{Aço: }\; \left(2{,}07\pm0{,}05\right)\times10^{-1}.ç

Passo 6

Cálculos para Alumínio (usei as medições da tabela):
  1. Média:
\bar{\theta}_{\text{deg}}=\frac{14{,}0+15{,}0+16{,}0+15{,}0+15{,}0}{5}=\frac{75}{5}=15{,}0^\circ.
  1. Desvio-padrão amostral:
    Desvios ao quadrado: 1{,}0,\,0{,}0,\,1{,}0,\,0{,}0. Soma =2{,}0.
s=\sqrt{\frac{2{,}0}{4}}=\sqrt{0{,}5}=0{,}707107^\circ.
  1. Erro da média (graus):
\varepsilon_{\theta,\text{deg}}=\frac{0{,}707107}{\sqrt{5}}=0{,}316228^\circ.
  1. Converter para rad:
\bar{\theta}=15{,}0^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}261799\\ \text{rad}, \qquad \varepsilon_{\theta}=0{,}316228\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}005523\\ \text{rad}.
  1. Calcular \bar{\mu} e \varepsilon_{\mu}:
\bar{\mu}=\tan(0{,}261799)=0{,}267949,
\cos(0{,}261799)=0{,}965926\Rightarrow\cos^{2}=0{,}933013,
\varepsilon_{\mu}=\frac{0{,}005523}{0{,}933013}=0{,}005923.
  1. Arredondamento: \varepsilon_{\mu}\approx0{,}006. Ajusto \bar{\mu}=0{,}268.
  2. Notação científica:
\text{Alumínio: }\; \left(2{,}68\pm0{,}06\right)\times10^{-1}.í

Passo 7

Cálculos para Cobre (usei as medições da tabela):
  1. Média:
\bar{\theta}_{\text{deg}}=\frac{17{,}0+17{,}0+17{,}0+16{,}0+15{,}0}{5}=\frac{82}{5}=16{,}4^\circ.
  1. Desvio-padrão amostral:
    Desvios ao quadrado: 0{,}36,\;0{,}36,\;0{,}36,\;0{,}16,\;1{,}96. Soma =3{,}20.
s=\sqrt{\frac{3{,}20}{4}}=\sqrt{0{,}80}=0{,}894427^\circ.
  1. Erro da média (graus):
\varepsilon_{\theta,\text{deg}}=\frac{0{,}894427}{\sqrt{5}}=0{,}4000^\circ.
  1. Converter para rad:
\bar{\theta}=16{,}4^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}286301\\ \text{rad}, \qquad \varepsilon_{\theta}=0{,}4000\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}006981\\ \text{rad}.
  1. Calcular \bar{\mu} e \varepsilon_{\mu}:
\bar{\mu}=\tan(0{,}286301)=0{,}294358,
\cos(0{,}286301)=0{,}959308\Rightarrow\cos^{2}=0{,}920279,
\varepsilon_{\mu}=\frac{0{,}006981}{0{,}920279}=0{,}007586.
  1. Arredondamento: \varepsilon_{\mu}\approx0{,}008. Ajusto \bar{\mu}=0{,}294.
  2. Notação científica:
\text{Cobre: }\; \left(2{,}94\pm0{,}08\right)\times10^{-1}.

Passo 8

Cálculos para Latão (usei as medições da tabela):
  1. Média:
\bar{\theta}_{\text{deg}}=\frac{11{,}0+9{,}0+10{,}0+11{,}0+10{,}0}{5}=\frac{51}{5}=10{,}2^\circ.
  1. Desvio-padrão amostral:
    Desvios ao quadrado: 0{,}64,\;1{,}44,\;0{,}04,\;0{,}64,\;0{,}04. Soma =2{,}80.
s=\sqrt{\frac{2{,}80}{4}}=\sqrt{0{,}70}=0{,}836660^\circ.
  1. Erro da média (graus):
\varepsilon_{\theta,\text{deg}}=\frac{0{,}836660}{\sqrt{5}}=0{,}374166^\circ.
  1. Converter para rad:
\bar{\theta}=10{,}2^\circ\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}178117\\ \text{rad}, \qquad \varepsilon_{\theta}=0{,}374166\cdot\frac{\pi}{180}=0{,}006534\\ \text{rad}.
  1. Calcular \bar{\mu} e \varepsilon_{\mu}:
\bar{\mu}=\tan(0{,}178117)=0{,}180017,
\cos(0{,}178117)=0{,}984179\Rightarrow\cos^{2}=0{,}968634,
\varepsilon_{\mu}=\frac{0{,}006534}{0{,}968634}=0{,}006744.
  1. Arredondamento: \varepsilon_{\mu}\approx0{,}007. Ajusto \bar{\mu}=0{,}180.
  2. Notação científica:
\text{Latão: }\; \left(1{,}80\pm0{,}07\right)\times10^{-1}.ã

Resposta

(2{,}82\pm0{,}09)\times10^{-1}
(2{,}07\pm0{,}05)\times10^{-1}
(2{,}68\pm0{,}06)\times10^{-1}
(2{,}94\pm0{,}08)\times10^{-1}
(1{,}80\pm0{,}07)\times10^{-1}

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