Questão 2:(24 pontos) Determine condições sobre m e n de modo que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2 x+4 y+3 z=9 \\\\ 6 x+7 z=13 \\\\ 4 x+2 y+n z=m \end{array}\right.
(a) (8 pontos) possua uma única solução;
(b) ( 8 pontos) possua infinitas soluções;
(c) ( 8 pontos) não possua solução.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z e parâmetros m,n:
\left\{\begin{array}{l} 2x+4y+3z=9,\\[4pt] 6x+7z=13,\\[4pt] 4x+2y+nz=m. \end{array}\right.
As perguntas são:
(a) determinar condições sobre m e n para que o sistema possua uma única solução;
(b) determinar condições para que possua infinitas soluções;
(c) determinar condições para que não possua solução.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para um sistema linear quadrado A\mathbf{x}=\mathbf{b} com 3 incógnitas, um teste rápido para ter solução única é verificar se a matriz dos coeficientes A é invertível. Um critério simples de invertibilidade é o determinante: se \det(A)\neq0 então A é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (para qualquer \mathbf{b}). Se \det(A)=0 então a matriz não é invertível e teremos ou infinitas soluções ou nenhuma; nesse caso devemos checar a consistência do sistema (ou seja, se a combinação linear das equações homogêneas corresponde também à mesma combinação nos termos independentes).
Aqui a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3\\[4pt] 6 & 0 & 7\\[4pt] 4 & 2 & n \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o determinante de A passo a passo (expandindo pela primeira linha):
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 7\\[2pt]2 & n\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 7\\[2pt]4 & n\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 0\\[2pt]4 & 2\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}0 & 7\\[2pt]2 & n\end{pmatrix}=0\cdot n-7\cdot2=-14,
\det\begin{pmatrix}6 & 7\\[2pt]4 & n\end{pmatrix}=6n-7\cdot4=6n-28,
\det\begin{pmatrix}6 & 0\\[2pt]4 & 2\end{pmatrix}=6\cdot2-0\cdot4=12.
Substituindo:
\det(A)=2(-14)-4(6n-28)+3(12)=-28-24n+112+36=-24n+120.
Fatorando:
\det(A)=24(5-n).]

Passo 4

Interpretação do resultado do determinante:
  • Se \det(A)\neq0 então o sistema tem solução única. Como \det(A)=24(5-n), temos \det(A)\neq0 quando 5-n\neq0, ou seja, quando n\neq5. Nessa situação não há nenhuma restrição sobre m: para qualquer m o sistema terá exatamente uma solução.
  • Se \det(A)=0 então necessariamente n=5 e precisamos analisar a consistência do sistema (infinitas soluções ou nenhuma).

Passo 5

Caso n=5\): escrevemos o sistema específico \[\left\{\begin{array}{l} 2x+4y+3z=9,\\[4pt] 6x+7z=13,\\[4pt] 4x+2y+5z=m. \end{array}\right.
Para decidir entre infinitas soluções ou nenhuma, verificamos se a terceira equação é combinação linear das duas primeiras (isto é, se existem escalares a,b tais que a\cdot(\text{eq}_1)+b\cdot(\text{eq}_2)=\text{eq}_3 na parte dos coeficientes).
Escrevendo a igualdade de coeficientes:
\begin{cases} 2a+6b=4 &\text{(coeficiente de }x\text{)},\\[4pt] 4a+0\cdot b=2 &\text{(coeficiente de }y\text{)},\\[4pt] 3a+7b=5 &\text{(coeficiente de }z\text{)}. \end{cases}
Da segunda equação obtemos 4a=2\Rightarrow a=\tfrac{1}{2}\]. Substituindo na primeira: \[2\cdot\tfrac{1}{2}+6b=4 \quad\Rightarrow\quad 1+6b=4 \quad\Rightarrow\quad b=\tfrac{1}{2}.\] Verificação no coeficiente de \(z:
3\cdot\tfrac{1}{2}+7\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3+7}{2}=\tfrac{10}{2}=5,
que coincide com o coeficiente de z da terceira equação. Portanto a terceira equação é, na parte dos coeficientes, a combinação \tfrac{1}{2}\times(\text{eq}_1)+\tfrac{1}{2}\times(\text{eq}_2).]

Passo 6

Consistência do sistema com n=5: para que o sistema seja consistente essa mesma combinação precisa valer também para os termos independentes. Aplicando \tfrac{1}{2} em cada lado das primeiras duas equações no membro direito obtemos o termo direito combinado
\tfrac{1}{2}\cdot 9 + \tfrac{1}{2}\cdot 13 = \tfrac{9+13}{2}=\tfrac{22}{2}=11.
Logo, se m=11 então a terceira equação é exatamente \tfrac{1}{2} da primeira mais \tfrac{1}{2} da segunda e o sistema é consistente com dependência entre equações. Nesse caso o posto da matriz dos coeficientes é 2 (menor que o número de incógnitas 3), então há infinitas soluções (um grau de liberdade). Para ver explicitamente a forma das soluções, escolhe-se um parâmetro t para z e resolve-se:
da segunda equação 6x+7z=13 vem
x=\frac{13-7z}{6}.
Substituindo em \,2x+4y+3z=9 e isolando y obtém-se (com z=t)
y=\frac{7-t}{6},\qquad x=\frac{13-7t}{6},\qquad z=t,
que mostra a família infinita de soluções quando n=5 e m=11.

Passo 7

Se n=5 mas m\neq11, então apesar da terceira equação ter os mesmos coeficientes lineares que a combinação \tfrac{1}{2}\,\text{eq}_1+\tfrac{1}{2}\,\text{eq}_2, os termos independentes não coincidem (à esquerda a combinação dá 11, à direita temos m\neq11), portanto há uma contradição e o sistema não é consistente — ou seja, não possui solução.

Resposta

(a) Única solução: n\neq5 (qualquer m).
(b) Infinitas soluções: n=5 e m=11.
(c) Nenhuma solução: n=5 e m\neq11.

Exercícios relacionados