Q11: Sabendo que o ponto (-6,6,4, k) pertence à reta (-3,3,-2,1)+ span \{(-1,1,2,-2)\}, assinale o valor de k :
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1

Passo 1

O enunciado dá o ponto (-6,6,4,k) e a reta descrita por um ponto mais o span de um vetor, isto é:
(-3,3,-2,1)+\text{span}\{(-1,1,2,-2)\}.
A pergunta é: qual é o valor de k tal que o ponto dado pertence a essa reta?
Informações relevantes:
  • Ponto-base da reta: (-3,3,-2,1).
  • Vetor-direção (gerador do span): (-1,1,2,-2).
  • Ponto que deve pertencer à reta: (-6,6,4,k).

Passo 2

Explicação do modelo geométrico (passo didático): quando uma reta é dada por
p + \text{span}\{v\},
isso significa o conjunto de todos os pontos da forma
p + t\,v,
onde t é um escalar real. Em outras palavras, um ponto q pertence à reta se e só se existe t\in\mathbb{R} tal que q=p+t v. Aqui:
p = (-3,3,-2,1),\qquad v = (-1,1,2,-2).
Portanto devemos achar t tal que
(-6,6,4,k)=(-3,3,-2,1)+t(-1,1,2,-2).

Passo 3

Agora equacionamos componente a componente (isso gera um sistema simples em t e nos dará k):
Escrevendo a soma por componentes:
(-3,3,-2,1)+t(-1,1,2,-2)=(-3-t,\;3+t,\;-2+2t,\;1-2t).
Igualando às componentes do ponto pedido temos quatro equações; usemos a primeira para encontrar t:
-3 - t = -6.
Resolvendo:
- t = -6 + 3 = -3 \quad\Rightarrow\quad t=3.

Passo 4

Verificamos as outras componentes com t=3 para garantir consistência e achar k:
Segunda componente:
3 + t = 3 + 3 = 6,
confere com a componente 6 do ponto dado.
Terceira componente:
-2 + 2t = -2 + 2\cdot 3 = -2 + 6 = 4,
confere com a componente 4.
Quarta componente (é aqui que aparece k):
1 - 2t = 1 - 2\cdot 3 = 1 - 6 = -5.
Logo k = -5.

Resposta

\,k=-5 (B)

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