Questão 24. Resolver \left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right) d x+\left(x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x\right) d y=0. (Resp. Use fator integrante. x^{2} e^{y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y^{3}}=C.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a diferencial
\bigl(2x y^{4}e^{y}+2x y^{3}+y\bigr)\,dx \;+\;\bigl(x^{2}y^{4}e^{y}-x^{2}y^{2}-3x\bigr)\,dy=0
usando fator integrante. Vamos identificar
M(x,y)=2x y^{4}e^{y}+2x y^{3}+y, \quad N(x,y)=x^{2}y^{4}e^{y}-x^{2}y^{2}-3x
e verificar se a equação é exata ou se é preciso um fator integrante.

Passo 2

Checamos a exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =2x\bigl(4y^{3}e^{y}+y^{4}e^{y}\bigr)+6x y^{2}+1 =8x y^{3}e^{y}+2x y^{4}e^{y}+6x y^{2}+1
e
\frac{\partial N}{\partial x} =2x y^{4}e^{y}-2x y^{2}-3.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de y. Usamos a condição
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{(2x y^{4}e^{y}-2x y^{2}-3)\;-\;(8x y^{3}e^{y}+2x y^{4}e^{y}+6x y^{2}+1)}% {2x y^{4}e^{y}+2x y^{3}+y} =-\frac{4}{y}.
Logo
\frac{d\ln\mu}{dy}=-\frac{4}{y} \quad\Longrightarrow\quad \mu(y)=e^{\int -4/y\,dy}=y^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^{-4}. Definindo
\widetilde M =\frac{M}{y^{4}}=2x e^{y}+2x y^{-1}+y^{-3}, \quad \widetilde N =\frac{N}{y^{4}}=x^{2}e^{y}-x^{2}y^{-2}-3x y^{-4},
verificamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} =2x e^{y}-2x y^{-2}-3y^{-4}, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} =2x e^{y}-2x y^{-2}-3y^{-4},
logo a nova equação \widetilde M\,dx+\widetilde N\,dy=0 é exata.

Passo 5

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} =\widetilde M=2x e^{y}+2x y^{-1}+y^{-3}.
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int\bigl(2x e^{y}+2x y^{-1}+y^{-3}\bigr)\,dx =x^{2}e^{y}+x^{2}y^{-1}+x\,y^{-3}+h(y).

Passo 6

Derivando \Phi em relação a y e igualando a \widetilde N obtemos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =x^{2}e^{y}-x^{2}y^{-2}-3x y^{-4}+h'(y) \overset!= x^{2}e^{y}-x^{2}y^{-2}-3x y^{-4},
logo h'(y)=0 e h é constante.

Resposta

x^{2}e^{y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y^{3}}=C.

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