Questão 25. A área de uma superfície com equação
, onde
e
são contínuas, é
Use isto para encontrar a área de cada superfície dada.
A parte da esfera
que está acima do plano
.
A parte da esfera
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da esfera
que fica acima do plano
. Vamos usar a fórmula
para a superfície dada por
, onde
e
são contínuas. Aqui, identificamos
e
é a projeção dessa parte da esfera no plano
.
Passo 2
Para determinar
, note que queremos pontos onde
o que equivale a
Logo,
é o disco de raio
. Agora calculamos as derivadas parciais de
:
Logo,
Portanto, o integrando é
Passo 3
Passamos a coordenadas polares:
,
. Então
e o domínio fica
,
. A área torna-se
Passo 4
Calculemos primeiro a integral em
:
Então
Resposta
A área da parte da esfera acima de
é
.