Questão 25. A área de uma superfície com equação z=f(x, y), \operatorname{com}(x, y) \in D, onde f_{x} e f_{y} são contínuas, é
A(D)=\iint_{D} \sqrt{1+\left[f_{x}(x, y)\right]^{2}+\left[f_{y}(x, y)\right]^{2}} d A
Use isto para encontrar a área de cada superfície dada.
A parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que está acima do plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que fica acima do plano z=1. Vamos usar a fórmula
A(D)=\iint_{D}\sqrt{1+\bigl[f_{x}(x,y)\bigr]^{2}+\bigl[f_{y}(x,y)\bigr]^{2}}\;dA
para a superfície dada por z=f(x,y), onde f_{x} e f_{y} são contínuas. Aqui, identificamos
f(x,y)=\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}},
e D é a projeção dessa parte da esfera no plano xy.

Passo 2

Para determinar D, note que queremos pontos onde
z=f(x,y)\ge 1\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}\ge 1
o que equivale a
4 - x^{2} - y^{2}\ge 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\le 3.
Logo, D é o disco de raio \sqrt{3}. Agora calculamos as derivadas parciais de f:
f_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} =-\frac{x}{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}},
f_{y}(x,y) =-\frac{y}{\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}.
Logo,
1+\bigl[f_{x}(x,y)\bigr]^{2}+\bigl[f_{y}(x,y)\bigr]^{2} =1+\frac{x^{2}+y^{2}}{4 - x^{2}-y^{2}} =\frac{4}{4 - x^{2}-y^{2}}.
Portanto, o integrando é
\sqrt{1+\bigl[f_{x}\bigr]^{2}+\bigl[f_{y}\bigr]^{2}} =\frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}-y^{2}}}.

Passo 3

Passamos a coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
4 - x^{2}-y^{2}=4 - r^{2}, \quad dA = r\,dr\,d\theta,
e o domínio fica 0\le r\le \sqrt{3}, 0\le \theta\le 2\pi. A área torna-se
A =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{2}{\sqrt{4 - r^{2}}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{2r}{\sqrt{4 - r^{2}}}\,dr =2\Bigl[-\sqrt{4 - r^{2}}\Bigr]_{0}^{\sqrt{3}} =2\bigl(-\sqrt{1}+2\bigr) =2.
Então
A =\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta =4\pi.

Resposta

A área da parte da esfera acima de z=1 é 4\pi.

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