Questão 25. A área de uma superfície com equação z=f(x, y), \operatorname{com}(x, y) \in D, onde f_{x} e f_{y} são contínuas, é
A(D)=\iint_{D} \sqrt{1+\left[f_{x}(x, y)\right]^{2}+\left[f_{y}(x, y)\right]^{2}} d A
Use isto para encontrar a área de cada superfície dada.
A parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=a x e acima do plano x y.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=a\,x e acima do plano z=0. O conteúdo é a fórmula de área de superfície em coordenadas cartesianas:
A projeção D no plano xy é o interior do cilindro x^{2}+y^{2}=a\,x, ou seja, em coordenadas polares r\le a\cos\theta e -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}. Também usamos dA=r\,dr\,d\theta e \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}=\sqrt{a^{2}-r^{2}}.
Passo 5
Montamos a integral
A =\iint_{D}\frac{a}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}\;r\,dr\,d\theta =a\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a\cos\theta} \frac{r}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}\,dr\,d\theta.