Questão 25. Cacule a inversa de cada matriz dada.
D=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
D=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz D é 2\times2.
  • Elementos da diagonal: 2 e 3.
  • Elementos fora da diagonal: 0.
    A tarefa é encontrar D^{-1}, a matriz inversa de D.]

Passo 2

Vamos usar a fórmula geral para a inversa de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
se o determinante \det(A)=ad-bc for diferente de zero, então
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicando a fórmula devagar:
  • a,b,c,d são os elementos da matriz A conforme posicionamento.
  • \det(A)=ad-bc é um número que mede se a matriz é invertível; se \det(A)=0 não existe inversa.
  • A matriz na direita troca a e d de lugar e coloca sinais negativos em b e c; depois multiplica-se por 1/\det(A).]

Passo 3

Calcular o determinante de D. Aqui a=2, b=0, c=0, d=3, então
\det(D)=ad-bc=2\cdot 3-0\cdot 0=6.
Como \det(D)=6\neq 0, a inversa existe.

Passo 4

Aplicar a fórmula da inversa usando os valores de D:
D^{-1}=\dfrac{1}{\det(D)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} =\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Agora simplificar cada entrada:
D^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{6} & 0 \\[6pt] 0 & \dfrac{2}{6}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & 0 \\[6pt] 0 & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação intuitiva e verificação rápida: como D é uma matriz diagonal, sua inversa é simplesmente a matriz diagonal cujas entradas são os recíprocos das entradas diagonais de D. Ou seja, 2^{-1}=\tfrac{1}{2} e 3^{-1}=\tfrac{1}{3}, dando a mesma resposta.
Verificação por multiplicação (para checar se realmente é a inversa):
D\cdot D^{-1} =\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0 \\[4pt] 0 & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\cdot\tfrac{1}{2}+0\cdot 0 & 2\cdot 0 + 0\cdot \tfrac{1}{3} \\[6pt] 0\cdot\tfrac{1}{2}+3\cdot 0 & 0\cdot 0 + 3\cdot \tfrac{1}{3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
que é a matriz identidade 2\times2. Portanto a inversa calculada está correta.]

Resposta

D^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & 0 \\[6pt] 0 & \dfrac{1}{3}\end{pmatrix}]

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