Questão 25. Determine a solução do PVI
y^prime+1raizx y & =e^raizx / 2 y(0) & =8 / 25
Resp.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos um PVI (problema de valor inicial)
y' + 1raizx,y = e^raizx/2,[6pt] y(0)=tfrac825
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, linear. Para resolver, a gente vai usar o método do fator integrante. Precisamos saber:
  1. Como identificar a forma .
  2. Como achar o fator integrante .
  3. Integrar o resultado e aplicar a condição inicial pra achar a constante.

Passo 2

Na nossa eq. linear, mu(x)=expl(integral p(x),dxr) =expl(integral tfrac1raizx,dxr) =expl(2raizxr) e e^2raizx,y' + 1raizx,e^2raizx,y =l(e^2raizx,yr)' .
O fator integrante é
l(e^2raizx,yr)' = e^2raizx;e^raizx/2 = e^2raizx + tfrac12raizx = e^tfrac52raizx
Multiplicando a eq. toda por , o lado esquerdo vira derivada do produto:
Então a eq. fica

Passo 3

Agora a gente integra em e^2raizx,y = integral e^tfrac52raizx,dx + C :
integral e^tfrac52 t,2t,dt
Para calcular u=2t, dv=e^tfrac52 tdt ;Longrightarrow; du=2,dt, v=25e^tfrac52 t , faz a troca integral 2t,e^tfrac52 tdt = u,v - integral v,du = 2tcdot25e^tfrac52 t - integral 25e^tfrac52 tcdot2,dt = l(4t5 - 825r)e^tfrac52 t + C , logo integral e^tfrac52raizxdx = l(4raizx5 - 825r)e^tfrac52raizx + C e e^2raizx,y = l(4raizx5 - 825r)e^tfrac52raizx + C . A integral vira
y = l(4raizx5 - 825r)e^tfrac52raizx - 2raizx + C,e^-2raizx = l(4raizx5 - 825r)e^tfrac12raizx + C,e^-2raizx
Usa integração por partes, escolhendo
Então
Voltando pra ( ),
Logo
Divide por :

Passo 4

Agora ajusta a constante y(0) =l(0 - tfrac825r)e^0 + C,e^0 = -tfrac825 + C overset!= tfrac825 usando . Quando , ,
Então

Resposta

boxedy(x)=l(tfrac45raizx-tfrac825r)e^raizx/2 ;+;tfrac1625,e^-2raizx

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