f(t)=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & \text { se } & 0 \leq t<\pi \\\ t-\pi & \text { se } & \pi \leq t<2 \pi \\\\ 0 & \text { se } & t \geq 2 \pi \end{array}\right.
Calcule a transformada de Laplace da função em questão, F(s)=\mathcal{L}[f(t)], pelos seguintes 2 métodos:
a) ( 13 pontos) Por definição.
b) ( 12 pontos) Escrevendo f(t) em termos da função degrau unitário e utilizando propriedades e a tabela de transformadas de Laplace.
e pede para calcular a transformada de Laplace F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} por dois métodos:
a) usando a definição (integral de 0 a \infty);\n
b) escrevendo f(t) com a degrau unitário e usando propriedades/tabela de transformadas.\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(t) é nula fora do intervalo [\pi,2\pi).\n
Em [\pi,2\pi) vale f(t)=t-\pi.\n
A partir disso faremos os dois cálculos e confirmaremos que dão a mesma expressão para F(s).]
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e redução do integral (método a).\n
A definição é
Agora falta calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\,e^{-s x}\,dx.
Passo 3
Cálculo de \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\,e^{-s x}\,dx por partes.\n
Uso integração por partes: tomo u=x e dv=e^{-s x}dx. Então du=dx e v=\displaystyle -\frac{1}{s}e^{-s x} (assumindo s\neq 0; depois comentamos o caso s=0). A primitiva é
Observação sobre convergência: como f(t) tem suporte compacto (nula fora de [\pi,2\pi]), o integral é uma integral em intervalo finito e a expressão é válida para todo s complexo (a transformada é, na verdade, uma função inteira de s). Para tratamento padrão em cursos, costuma-se afirmar a validade para \Re(s)>0, mas aqui não há divergência mesmo para s=0.
Passo 5
Agora método (b): escrever f(t)\) com degrau unitário e usar propriedades.\n
Definição da degrau unitário: \(\displaystyle u(t-a)=\begin{cases}0,&t<a,\\\ 1,&t\ge a.\end{cases}\n
Posso escrever f(t) como
f(t)=(t-\pi)\bigl[u(t-\pi)-u(t-2\pi)\bigr].
Verificação rápida (para ficar certo):\n
Se t<\pi, ambos os degraus são 0 e f(t)=0.\n
Se \pi\le t<2\pi, então u(t-\pi)=1 e u(t-2\pi)=0, logo f(t)=(t-\pi)\cdot 1.\n
Se t\ge2\pi, ambos são 1 e a diferença é 0, logo f(t)=0. Portanto a expressão representa corretamente f.
Passo 6
Propriedade de translação no tempo (teorema do deslocamento).\n
Se g(t) é uma função com transformada G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
Pelo deslocamento, \mathcal{L}\{(t-2\pi)u(t-2\pi)\}=e^{-2\pi s}\mathcal{L}\{t\}=e^{-2\pi s}\frac{1}{s^{2}}. E \mathcal{L}\{u(t-2\pi)\}=e^{-2\pi s}\frac{1}{s}. Portanto
Conclusão e comparação dos dois métodos.\n
Os resultados dos métodos (a) e (b) coincidem, como devíamos obter. A expressão final pode ser deixada numa forma equivalente conveniente para uso em problemas.