Utilize a definição para provar que os limites existem:
\lim _{x \rightarrow 2}(5 x-3)=7

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 2}(5x-3)=7.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=5x-3.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=2.
  • O valor limite a ser demonstrado é 7.

Passo 2

Lembrete da definição (em linguagem simples): provar que \lim_{x\to a} f(x)=L significa mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-a|<\delta, temos |f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando as peças:
  • \varepsilon é um número positivo pequeno que representa o quão perto queremos que f(x) esteja de L.
  • \delta é um número positivo que controla quão perto deve estar x de a para garantir que f(x) fique dentro de \varepsilon de L.
    Na prova, dado um \varepsilon>0 arbitrário, devemos apresentar uma escolha explícita de \delta>0 que funcione.

Passo 3

Calcular a diferença entre f(x) e o valor proposto L:
|f(x)-L| = |(5x-3)-7|.
Simplificando:
|(5x-3)-7| = |5x-10| = 5\,|x-2|.
Passo a passo da simplificação:
  • (5x-3)-7 = 5x-10.
  • O fator comum 5 pode ser colocado fora do valor absoluto: |5x-10|=5|x-2|.

Passo 4

Queremos garantir |f(x)-L|<\varepsilon. A igualdade do passo anterior mostra que isso equivale a garantir 5\,|x-2|<\varepsilon, ou seja,
|x-2|<\frac{\varepsilon}{5}.
Portanto uma escolha natural (e suficiente) é definir
\delta=\frac{\varepsilon}{5}.
Note que, para qualquer \varepsilon>0, temos \delta>0.

Passo 5

Prova formal com a escolha de \delta:
Seja arbitrário \varepsilon>0. Defina \delta=\dfrac{\varepsilon}{5}.
Suponha que 0<|x-2|<\delta. Então, usando o passo 3,
|f(x)-7| = 5\,|x-2| < 5\delta = 5\cdot\frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon.
Assim, para essa escolha de \delta a condição da definição de limite é satisfeita. Como \varepsilon>0 foi arbitrário, concluímos que o limite existe e é igual a 7.

Resposta

\lim_{x\to 2}(5x-3)=7

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