Utilize a definição para provar que os limites existem:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde a variável se aproxima é
. - O valor limite a ser demonstrado é
.
Passo 2
Lembrete da definição (em linguagem simples): provar que
significa mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
.
Explicando as peças:
-
é um número positivo pequeno que representa o quão perto queremos que esteja de . -
é um número positivo que controla quão perto deve estar de para garantir que fique dentro de de .
Na prova, dado umarbitrário, devemos apresentar uma escolha explícita de que funcione.
Passo 3
Calcular a diferença entre
e o valor proposto
:
Simplificando:
Passo a passo da simplificação:
-
. - O fator comum
pode ser colocado fora do valor absoluto: .
Passo 4
Queremos garantir
. A igualdade do passo anterior mostra que isso equivale a garantir
, ou seja,
Portanto uma escolha natural (e suficiente) é definir
Note que, para qualquer
, temos
.
Passo 5
Prova formal com a escolha de
:
Seja arbitrário . Defina
.
Suponha que . Então, usando o passo 3,
Seja arbitrário
Suponha que
Assim, para essa escolha de
a condição da definição de limite é satisfeita. Como
foi arbitrário, concluímos que o limite existe e é igual a
.