Questão 4. (25 pontos) Considere o sistema de equações diferenciais, onde \gamma \geq 0.
(2)
x^{\prime}=y, \quad y^{\prime}=x-x^{3}-\gamma y .
(a) (8 pontos) Encontre todos os equilibrios do sistema (2), para qualquer \gamma \geq 0.
(b) ( 17 pontos) Analise a estabilidade dos equilibrios, para \gamma=0 e \gamma>0, de acordo com os resultados vistos em aula. Esboce seu retrato de fase em cada caso

Passo 1

O enunciado dá o sistema (com \gamma\ge 0):
x' = y,\qquad y' = x - x^{3} - \gamma y.
O que se pede:
  • (a) Encontrar todos os equilíbrios do sistema, para qualquer \gamma\ge 0.
  • (b) Analisar a estabilidade desses equilíbrios nos casos \gamma=0 e \gamma>0 (usando resultados vistos em aula) e esboçar o retrato de fase em cada caso.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar:
  • A equação do sistema inteira (já escrita acima).
  • O parâmetro \gamma satisfaz \gamma\ge 0 (logo só preciso considerar \gamma=0 e \gamma>0).

Passo 2

Encontrar os equilíbrios: equilibrío ocorre quando x'=0 e y'=0. Assim:
y=0
e
x - x^{3} - \gamma y = 0 \;\Rightarrow\; x - x^{3} = 0
porque y=0. Resolver x - x^{3} = 0:
x(1 - x^{2}) = 0 \quad\Rightarrow\quad x=0,\; x=1,\; x=-1.
Portanto os pontos de equilíbrio são (0,0), (1,0) e (-1,0), válidos para qualquer \gamma\ge 0.

Passo 3

Método de análise de estabilidade: linearização pelo Jacobiano no ponto de equilíbrio.
Explicando a ideia (passo a passo didático): para um sistema \mathbf{u}'=F(\mathbf{u}) com F suave, a estabilidade local de um equilíbrio \mathbf{u}_0 é estudada olhando a matriz Jacobiana DF(\mathbf{u}_0). Essa matriz tem entradas \partial F_i/\partial u_j. Os autovalores dessa matriz (raízes do polinômio característico) determinam o tipo linear: se algum autovalor tem parte real positiva, o equilíbrio é instável; se todos têm parte real negativa, é assintoticamente estável; se autovalores puros imaginários a linearização é inconclusiva e pode ser necessário um argumento não-linear.
Calculemos a Jacobiana geral do sistema. Tomando \mathbf{u}=(x,y) e F(x,y)=(y,\;x-x^{3}-\gamma y), obtemos
DF(x,y) = \begin{pmatrix} \partial_x y & \partial_y y\\[4pt] \partial_x (x-x^{3}-\gamma y) & \partial_y (x-x^{3}-\gamma y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] 1-3x^{2} & -\gamma \end{pmatrix}.
Para cada equilíbrio avaliaremos essa matriz e usaremos traço ( \tau) e determinante ( \Delta) e/ou as raízes do polinômio característico.]

Passo 4

Análise do equilíbrio (0,0).
Avaliar a Jacobiana em (0,0):
DF(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & -\gamma\end{pmatrix}.
Traço e determinante:
\tau = \operatorname{tr}DF(0,0) = -\gamma,\qquad \Delta = \det DF(0,0) = (0)(-\gamma) - (1)(1) = -1.
Observação importante (critério simples): se \Delta<0 então os autovalores são reais de sinais opostos e o ponto é uma sela (saddle) — instável. Aqui \Delta=-1<0 para qualquer \gamma. Portanto, sem precisar de mais contas, concluímos que (0,0) é uma sela para todo \gamma\ge 0.
Para dar a expressão explícita dos autovalores, o polinômio característico é
\lambda^{2} + \gamma \lambda - 1 = 0,
cujas raízes são
\lambda = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2}+4}}{2}.
Note que \sqrt{\gamma^{2}+4}>\gamma, logo uma raiz é positiva e a outra negativa — confirmação da sela.]

Passo 5

Análise dos equilíbrios (1,0) e (-1,0).
Avaliar a Jacobiana em x=\pm 1:
DF(\pm 1,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1-3(\pm 1)^{2} & -\gamma\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] -2 & -\gamma\end{pmatrix}.
Traço e determinante:
\tau = -\gamma,\qquad \Delta = (0)(-\gamma) - (1)(-2) = 2.
Como \Delta>0, os autovalores são de mesmo sinal (ou complexos conjugados com parte real \tau/2). O polinômio característico é
\lambda^{2} + \gamma \lambda + 2 = 0.
Agora separamos os casos \gamma=0 e \gamma>0.]

Passo 6

Caso \gamma=0.
Com \gamma=0 o polinômio em (\pm1,0) é
\lambda^{2} + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = \pm i\sqrt{2},
autovalores puramente imaginários. A linearização, portanto, indica um ponto linear do tipo centro, mas a linearização por si só não garante estabilidade não-linear. Então precisamos de um argumento não-linear.
Observação útil: quando \gamma=0 o sistema fica
x' = y,\qquad y' = x - x^{3}.
Este é um sistema conservativo (Hamiltoniano). Podemos encontrar uma função energia (Hamiltoniano) H(x,y) conservada ao longo das trajetórias. Procuramos H tal que x'=\partial H/\partial y e y'=-\partial H/\partial x. Tomando
H(x,y) = \tfrac{1}{2}y^{2} + V(x),
queremos -V'(x) = x - x^{3}, logo
V'(x) = x^{3} - x,\qquad V(x)=\int (x^{3}-x)\,dx = \tfrac{1}{4}x^{4} - \tfrac{1}{2}x^{2}.
Assim
H(x,y) = \tfrac{1}{2}y^{2} + \tfrac{1}{4}x^{4} - \tfrac{1}{2}x^{2}.
Um cálculo rápido (derivando H ao longo das soluções) dá dH/dt=0 quando \gamma=0. Logo H é constante ao longo das órbitas: as curvas de nível de H são as órbitas do sistema.
Avaliar H nos equilíbrios:
H(0,0) = 0,\qquad H(\pm1,0) = \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}.
A forma do potencial V(x)=\tfrac{1}{4}x^{4}-\tfrac{1}{2}x^{2} é a clássica “duas covas” com máximos em x=0 e mínimos em x=\pm1. Como V''(\pm1)=3(1)^{2}-1=2>0, os pontos (\pm1,0) correspondem a mínimos locais de V e, no sistema Hamiltoniano, isso implica que são centros não-lineares: há órbitas fechadas em torno de cada um (movimento periódico). Portanto, para \gamma=0, (\pm1,0) são centros (Lyapunov estáveis, não assintoticamente estáveis) e (0,0) é uma sela. As órbitas de energia com -\tfrac{1}{4}<H<0 são fechadas em torno de (\pm1,0). O nível H=0 corresponde às separatrizes que passam pela sela em (0,0).

Passo 7

Caso \gamma>0.
Para (\pm1,0) temos \tau=-\gamma<0 e \Delta=2>0. Em sistemas lineares em \mathbb{R}^{2} isso já é uma forte indicação de estabilidade assintótica (todos os autovalores têm parte real negativa) — diferencialmente: as raízes de \lambda^{2}+\gamma\lambda+2=0 são
\lambda = \frac{-\gamma \pm \sqrt{\gamma^{2}-8}}{2}.
Agora os subcasos (classificação detalhada):
  • Se 0<\gamma<2\sqrt{2} então \gamma^{2}-8<0 e as raízes são complexas conjugadas com parte real -\gamma/2<0. Resultado: (\pm1,0) são espirais estáveis (espiralados, spiral sink).
  • Se \gamma = 2\sqrt{2} então \gamma^{2}-8=0 e há uma raiz dupla real negativa \lambda=-\gamma/2=-\sqrt{2}: ponto nodo degenerado estável (nó degenerado).
  • Se \gamma>2\sqrt{2} então \gamma^{2}-8>0 e as duas raízes são reais e negativas distintas: (\pm1,0) são nós estáveis (nó assintoticamente estável).
Conclusão: para qualquer \gamma>0, (\pm1,0) são assintoticamente estáveis; a natureza (espiral ou nó) depende do valor de \gamma conforme os subcasos acima.

Passo 8

Desenho qualitativo dos retratos de fase (descrição que ajuda a esboçar):
  • Caso \gamma=0 (sistema conservativo):
    • (0,0) é uma sela; suas separatrizes (nível de energia H=0) formam laços homoclínicos que delimitam as regiões dos dois potenciais mínimos.
    • (\pm1,0) são centros não-lineares; em torno de cada um há órbitas fechadas (movimentos periódicos).
    • O retrato tem simetria em relação à origem; entre os dois centros há uma separatriz que passa pela sela em (0,0).
  • Caso \gamma>0 (amortecimento):
    • (0,0) continua sendo uma sela (sempre instável).
    • (\pm1,0) tornam-se atratores (sumidouros). Para 0<\gamma<2\sqrt{2} as soluções próximas espiralam para (\pm1,0); para \gamma grande elas convergem de modo não-oscillatório (nó).
    • As variedades estáveis do saddle em (0,0) separam as bacias de atração de (1,0) e (-1,0). As variedades instáveis do saddle tipicamente levam para os atratores (\pm1,0).
    • Visualmente: duas regiões de atração (cada uma contendo um dos pontos \pm1), e linhas separadoras que passam pelo saddle em 0.
Dica para esboçar na prova: trace os pontos (\pm1,0) e (0,0); no caso \gamma=0 desenhe órbitas fechadas ao redor de \pm1 e laços separando-as passando por (0,0); no caso \gamma>0 transforme as órbitas fechadas em espirais que se aproximam de \pm1 (para pequeno \gamma) ou em trajetórias que convergem sem oscilar (para grande \gamma). Sempre marque as direções do campo (setas) para indicar o sentido temporal.
Força — você já tem os pontos principais para desenhar e argumentar na prova. Vai dar certo!

Resposta

(a) (0,0),\\ (1,0),\\ (-1,0).
(b) (0,0) é uma sela (instável) para todo \gamma\ge 0.
\gamma=0: (\pm1,0) são centros não-lineares (Lyapunov estáveis, órbitas fechadas ao redor — não assintoticamente estáveis). (0,0) sela.
\gamma>0: (\pm1,0) são assintoticamente estáveis. Mais precisamente, são espirais estáveis se 0<\gamma<2\sqrt{2}, nó degenerado estável se \gamma=2\sqrt{2} e nó estável se \gamma>2\sqrt{2}. (0,0) permanece uma sela.

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