Questão 4. (25 pontos) Considere o sistema de equações diferenciais, onde
.
(2)
(a) (8 pontos) Encontre todos os equilibrios do sistema (2), para qualquer
.
(b) ( 17 pontos) Analise a estabilidade dos equilibrios, para
, de acordo com os resultados vistos em aula. Esboce seu retrato de fase em cada caso
(2)
(b) ( 17 pontos) Analise a estabilidade dos equilibrios, para
Passo 1
O enunciado dá o sistema (com
):
O que se pede:
- (a) Encontrar todos os equilíbrios do sistema, para qualquer
. - (b) Analisar a estabilidade desses equilíbrios nos casos
e (usando resultados vistos em aula) e esboçar o retrato de fase em cada caso.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vou usar:
- A equação do sistema inteira (já escrita acima).
- O parâmetro
satisfaz (logo só preciso considerar e ).
Passo 2
Encontrar os equilíbrios: equilibrío ocorre quando
e
. Assim:
e
porque
. Resolver
:
Portanto os pontos de equilíbrio são
,
e
, válidos para qualquer
.
Passo 3
Método de análise de estabilidade: linearização pelo Jacobiano no ponto de equilíbrio.
Explicando a ideia (passo a passo didático): para um sistema com
suave, a estabilidade local de um equilíbrio
é estudada olhando a matriz Jacobiana
. Essa matriz tem entradas
. Os autovalores dessa matriz (raízes do polinômio característico) determinam o tipo linear: se algum autovalor tem parte real positiva, o equilíbrio é instável; se todos têm parte real negativa, é assintoticamente estável; se autovalores puros imaginários a linearização é inconclusiva e pode ser necessário um argumento não-linear.
Explicando a ideia (passo a passo didático): para um sistema
Calculemos a Jacobiana geral do sistema. Tomando
e
, obtemos
Para cada equilíbrio avaliaremos essa matriz e usaremos traço (
) e determinante (
) e/ou as raízes do polinômio característico.]
Passo 4
Análise do equilíbrio
.
Avaliar a Jacobiana em
:
Traço e determinante:
Observação importante (critério simples): se
então os autovalores são reais de sinais opostos e o ponto é uma sela (saddle) — instável. Aqui
para qualquer
. Portanto, sem precisar de mais contas, concluímos que
é uma sela para todo
.
Para dar a expressão explícita dos autovalores, o polinômio característico é
cujas raízes são
Note que
, logo uma raiz é positiva e a outra negativa — confirmação da sela.]
Passo 5
Análise dos equilíbrios
e
.
Avaliar a Jacobiana em
:
Traço e determinante:
Como
, os autovalores são de mesmo sinal (ou complexos conjugados com parte real
). O polinômio característico é
Agora separamos os casos
e
.]
Passo 6
Caso
.
Com
o polinômio em
é
autovalores puramente imaginários. A linearização, portanto, indica um ponto linear do tipo centro, mas a linearização por si só não garante estabilidade não-linear. Então precisamos de um argumento não-linear.
Observação útil: quando
o sistema fica
Este é um sistema conservativo (Hamiltoniano). Podemos encontrar uma função energia (Hamiltoniano)
conservada ao longo das trajetórias. Procuramos
tal que
e
. Tomando
queremos
, logo
Assim
Um cálculo rápido (derivando
ao longo das soluções) dá
quando
. Logo
é constante ao longo das órbitas: as curvas de nível de
são as órbitas do sistema.
Avaliar
nos equilíbrios:
A forma do potencial
é a clássica “duas covas” com máximos em
e mínimos em
. Como
, os pontos
correspondem a mínimos locais de
e, no sistema Hamiltoniano, isso implica que são centros não-lineares: há órbitas fechadas em torno de cada um (movimento periódico). Portanto, para
,
são centros (Lyapunov estáveis, não assintoticamente estáveis) e
é uma sela. As órbitas de energia com
são fechadas em torno de
. O nível
corresponde às separatrizes que passam pela sela em
.
Passo 7
Caso
.
Para
temos
e
. Em sistemas lineares em
isso já é uma forte indicação de estabilidade assintótica (todos os autovalores têm parte real negativa) — diferencialmente: as raízes de
são
Agora os subcasos (classificação detalhada):
- Se
então e as raízes são complexas conjugadas com parte real . Resultado: são espirais estáveis (espiralados, spiral sink). - Se
então e há uma raiz dupla real negativa : ponto nodo degenerado estável (nó degenerado). - Se
então e as duas raízes são reais e negativas distintas: são nós estáveis (nó assintoticamente estável).
Conclusão: para qualquer
,
são assintoticamente estáveis; a natureza (espiral ou nó) depende do valor de
conforme os subcasos acima.
Passo 8
Desenho qualitativo dos retratos de fase (descrição que ajuda a esboçar):
-
Caso
(sistema conservativo): -
é uma sela; suas separatrizes (nível de energia ) formam laços homoclínicos que delimitam as regiões dos dois potenciais mínimos. -
são centros não-lineares; em torno de cada um há órbitas fechadas (movimentos periódicos). - O retrato tem simetria em relação à origem; entre os dois centros há uma separatriz que passa pela sela em
.
-
-
Caso
(amortecimento): -
continua sendo uma sela (sempre instável). -
tornam-se atratores (sumidouros). Para as soluções próximas espiralam para ; para grande elas convergem de modo não-oscillatório (nó). - As variedades estáveis do saddle em
separam as bacias de atração de e . As variedades instáveis do saddle tipicamente levam para os atratores . - Visualmente: duas regiões de atração (cada uma contendo um dos pontos
), e linhas separadoras que passam pelo saddle em .
-
Dica para esboçar na prova: trace os pontos
e
; no caso
desenhe órbitas fechadas ao redor de
e laços separando-as passando por
; no caso
transforme as órbitas fechadas em espirais que se aproximam de
(para pequeno
) ou em trajetórias que convergem sem oscilar (para grande
). Sempre marque as direções do campo (setas) para indicar o sentido temporal.
Força — você já tem os pontos principais para desenhar e argumentar na prova. Vai dar certo!
Resposta
(a)
.
(b)
é uma sela (instável) para todo
.