QUESTÃO No. 3 (25 pontos)

Encontre uma expressão envolvendo a função degrau unitário, \theta(t), para uma função f (com domínio na reta real) cujo gráfico é uma rampa crescente de zero em t=t_{0} até o valor h em t=t_{0}+k, seguida de uma rampa decrescente que chega a zero em t=t_{0}+2 k.
Explique o procedimento utilizado para chegar na expressão de f(t).

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre uma expressão, envolvendo a função degrau unitário \theta(t), para uma função f com domínio na reta real cujo gráfico é:
  • uma rampa crescente que vale zero para t<t_0, começa em zero em t=t_0 e atinge o valor h em t=t_0+k;
  • em seguida uma rampa decrescente que parte de h em t=t_0+k e volta a zero em t=t_0+2k;
  • fora do intervalo [t_0,\,t_0+2k] a função vale zero.
Informações dadas (parâmetros do problema):
  • t_0 (ponto onde a rampa começa),
  • k>0 (metade da base total do “triângulo” temporal; a subida dura k e a descida dura k),
  • h (altura máxima alcançada em t=t_0+k).
O que preciso entregar: uma expressão de f(t) escrita com \theta(\cdot) (o degrau unitário), e explicar o procedimento passo a passo.

Passo 2

Definições e ideia básica (aulas rápidas e úteis antes da montagem).
  • A função degrau unitário \theta(t)\) é definida informalmente por \[\theta(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t\ge 0. \end{cases}
Ela serve para “ligar” ou “desligar” termos dependendo do tempo: multiplicar algo por \theta(t-a)\] faz esse algo valer apenas para \(t\ge a.
  • A função rampa básica (às vezes chamada de função r(t)) pode ser escrita em termos de \theta como
r(t)=t\,\theta(t),
pois r(t)=(t) quando t\ge0 e 0 quando t<0. De modo geral
r(t-a)=(t-a)\,\theta(t-a).
  • A estratégia: construir a subida com uma rampa de inclinação adequada entre t_0 e t_0+k, e então construir a descida com outra rampa (de inclinação negativa) ativa somente entre t_0+k e t_0+2k. Soma-las (com os sinais e deslocamentos certos) produz a forma triangular desejada.]

Passo 3

Calcular a inclinação (declive) das rampas.
  • Na subida, entre t=t_0 e t=t_0+k a função cresce linearmente de 0 até h. A inclinação (derivada constante) é
m_{\text{subida}}=\frac{h-0}{(t_0+k)-t_0}=\frac{h}{k}.
  • Na descida, entre t=t_0+k e t=t_0+2k a função decresce linearmente de h até 0. A inclinação é
m_{\text{descida}}=\frac{0-h}{(t_0+2k)-(t_0+k)}=-\frac{h}{k}.

Passo 4

Construir a rampa de subida usando r(t)=t\theta(t).
  • Uma rampa com inclinação m que começa em t=a corresponde a m\,r(t-a)=m\,(t-a)\theta(t-a). Essa função vale 0 para t<a e vale m(t-a) para t\ge a.
  • Para nossa subida: escolha m=\dfrac{h}{k} e a=t_0. Então o termo da subida é
T_1(t)=\frac{h}{k}\,r(t-t_0)=\frac{h}{k}\,(t-t_0)\,\theta(t-t_0).
  • Atenção: esse termo, isoladamente, cresce até h em t=t_0+k mas depois fica constante em h para t\ge t_0+k. Precisamos então “tirar” esse excesso na segunda etapa (fazer a descida).

Passo 5

Construir a rampa de descida (que reduz o valor a zero após t_0+2k).
  • Para produzir a descida que começa em t=t_0+k com inclinação -\dfrac{h}{k} e termina em t=t_0+2k, use o termo
T_2(t)=-\frac{h}{k}\,r\big(t-(t_0+k)\big)=-\frac{h}{k}\,(t-t_0-k)\,\theta(t-t_0-k).
  • Mas T_2(t) isoladamente faria a função decrescer indefinidamente para t\ge t_0+k. Para limitar essa descida apenas até t=t_0+2k fazemos com que o efeito de T_2 seja “desligado” após t_0+2k. Isso se consegue subtraindo um término semelhante deslocado em 2k: concretamente, consideramos
T_2'(t)=-\frac{h}{k}\big[r(t-(t_0+k))-r(t-(t_0+2k))\big].
Analisando:
  • Para t<t_0+k: ambos os r(\cdot) zeros, então T_2'(t)=0.
  • Para t_0+k\le t< t_0+2k: r(t-(t_0+k))=(t-t_0-k) e r(t-(t_0+2k))=0, logo T_2'(t)=-\dfrac{h}{k}(t-t_0-k) — é a descida desejada.
  • Para t\ge t_0+2k: r(t-(t_0+k))-(r(t-(t_0+2k)))=(t-t_0-k)-(t-t_0-2k)=k, então T_2'(t)=-\dfrac{h}{k}\cdot k=-h, isto é, ele subtrai exatamente h após t_0+2k, cancelando o h deixado por T_1.

Passo 6

Somar os termos e simplificar.
  • A soma total é
f(t)=T_1(t)+T_2'(t) =\frac{h}{k}\,r(t-t_0)\;-\;\frac{h}{k}\big[r(t-(t_0+k))-r(t-(t_0+2k))\big].
  • Desenvolvendo e recolhendo termos obtemos a forma combinada
f(t)=\frac{h}{k}\big[r(t-t_0)-2\,r(t-t_0-k)+r(t-t_0-2k)\big].
  • Substituindo r(\tau)=(\tau)\theta(\tau) volta para a forma explicitamente em termos de \theta:
f(t)=\frac{h}{k}\Big[(t-t_0)\theta(t-t_0)-2(t-t_0-k)\theta(t-t_0-k)+(t-t_0-2k)\theta(t-t_0-2k)\Big].

Passo 7

Verificação rápida peça a peça (controle de consistência)
  • Para t<t_0: todos os \theta são zero, então f(t)=0.
  • Para t_0\le t< t_0+k: só \theta(t-t_0)=1, os outros dois são zero; então
f(t)=\frac{h}{k}(t-t_0),
que é a subida linear correta e em t=t_0+k f=h.
  • Para t_0+k\le t< t_0+2k: as duas primeiras \theta são 1 e a terceira é 0, daí
f(t)=\frac{h}{k}\big[(t-t_0)-2(t-t_0-k)\big] =\frac{h}{k}\big(2k-(t-t_0)\big) =\frac{h}{k}(t_0+2k-t),
o que é a descida linear que vale h em t=t_0+k e 0 em t=t_0+2k.
  • Para t\ge t_0+2k: as três \theta são 1 e a combinação dá zero, como desejado.

Resposta

f(t)=\frac{h}{k}\Big[(t-t_0)\theta(t-t_0)-2(t-t_0-k)\theta(t-t_0-k)+(t-t_0-2k)\theta(t-t_0-2k)\Big]

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