QUESTÃO No. 3 (25 pontos)
Encontre uma expressão envolvendo a função degrau unitário,
, para uma função
(com domínio na reta real) cujo gráfico é uma rampa crescente de zero em
até o valor
em
, seguida de uma rampa decrescente que chega a zero em
.
Explique o procedimento utilizado para chegar na expressão de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre uma expressão, envolvendo a função degrau unitário
, para uma função
com domínio na reta real cujo gráfico é:
- uma rampa crescente que vale zero para
, começa em zero em e atinge o valor em ; - em seguida uma rampa decrescente que parte de
em e volta a zero em ; - fora do intervalo
a função vale zero.
Informações dadas (parâmetros do problema):
-
(ponto onde a rampa começa), -
(metade da base total do “triângulo” temporal; a subida dura e a descida dura ), -
(altura máxima alcançada em ).
O que preciso entregar: uma expressão de
escrita com
(o degrau unitário), e explicar o procedimento passo a passo.
Passo 2
Definições e ideia básica (aulas rápidas e úteis antes da montagem).
- A função degrau unitário
Ela serve para “ligar” ou “desligar” termos dependendo do tempo: multiplicar algo por
.
- A função rampa básica (às vezes chamada de função
) pode ser escrita em termos de como
pois
quando
e
quando
. De modo geral
- A estratégia: construir a subida com uma rampa de inclinação adequada entre
e , e então construir a descida com outra rampa (de inclinação negativa) ativa somente entre e . Soma-las (com os sinais e deslocamentos certos) produz a forma triangular desejada.]
Passo 3
Calcular a inclinação (declive) das rampas.
- Na subida, entre
e a função cresce linearmente de até . A inclinação (derivada constante) é
- Na descida, entre
e a função decresce linearmente de até . A inclinação é
Passo 4
Construir a rampa de subida usando
.
- Uma rampa com inclinação
que começa em corresponde a . Essa função vale para e vale para . - Para nossa subida: escolha
e . Então o termo da subida é
- Atenção: esse termo, isoladamente, cresce até
em mas depois fica constante em para . Precisamos então “tirar” esse excesso na segunda etapa (fazer a descida).
Passo 5
Construir a rampa de descida (que reduz o valor a zero após
).
- Para produzir a descida que começa em
com inclinação e termina em , use o termo
- Mas
isoladamente faria a função decrescer indefinidamente para . Para limitar essa descida apenas até fazemos com que o efeito de seja “desligado” após . Isso se consegue subtraindo um término semelhante deslocado em : concretamente, consideramos
Analisando:
- Para
: ambos os zeros, então . - Para
: e , logo — é a descida desejada. - Para
: , então , isto é, ele subtrai exatamente após , cancelando o deixado por .
Passo 6
Somar os termos e simplificar.
- A soma total é
- Desenvolvendo e recolhendo termos obtemos a forma combinada
- Substituindo
volta para a forma explicitamente em termos de :
Passo 7
Verificação rápida peça a peça (controle de consistência)
- Para
: todos os são zero, então . - Para
: só , os outros dois são zero; então
que é a subida linear correta e em
dá
.
- Para
: as duas primeiras são 1 e a terceira é 0, daí
o que é a descida linear que vale
em
e
em
.
- Para
: as três são 1 e a combinação dá zero, como desejado.