QUESTÃO No.1 (25 pontos)
Considere f_{\alpha}(x)=\left(\alpha^{2} / 2\right) \exp (-\alpha|x|).
Determine se a função
\lim _{\alpha \rightarrow+\infty} f_{\alpha}(x)
é uma possível representação de \delta(x).
Justifique com clareza a sua resposta examinando os 2 requisitos que devem ser satisfeitos.

Passo 1

O enunciado fornece a família de funções
f_{\alpha}(x)=\left(\frac{\alpha^{2}}{2}\right)\exp\big(-\alpha|x|\big), \qquad \alpha>0,
e pede para determinar se
\lim_{\alpha\to+\infty} f_{\alpha}(x)
é uma possível representação da distribuição de Dirac \delta(x).
O enunciado pede explicitamente que se justifique examinando os 2 requisitos que devem ser satisfeitos para que uma família de funções represente \delta(x). Esses são os dados e o que se pede; a partir daqui vamos verificar passo a passo esses requisitos.

Passo 2

O que significa "ser uma representação de \delta(x)"? Vou explicar isso com calma e sem jargões.
Uma família de funções f_{\alpha}(x) (com \alpha\to+\infty) é uma aproximação da delta de Dirac se, grosso modo, ela concentra toda a massa em x=0 e tem massa total igual a 1. Formalmente costuma-se exigir duas propriedades essenciais:
  1. Concentração fora da origem: para todo x\neq0,
\lim_{\alpha\to+\infty} f_{\alpha}(x)=0.
Isto diz que, ponto a ponto fora de zero, a densidade vai para zero — a função “desaparece” fora de 0.
  1. Normalização (massa total unitária): para todo \alpha (ou pelo menos no limite),
\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,dx = 1 \qquad\text{(ou pelo menos }\lim_{\alpha\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,dx = 1\text{).}
Isto garante que a massa total é 1, como a delta.
Uma forma mais forte e prática de caracterizar a convergência é: para toda função contínua e com crescimento controlado \varphi (test function),
\lim_{\alpha\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,\varphi(x)\,dx = \varphi(0).
Mas se as duas condições acima (concentração e normalização) falham, essa propriedade de testar contra \varphi também não ocorrerá.
Agora vamos verificar essas duas propriedades para a família dada.

Passo 3

Verificação da concentração fora da origem (condição 1).
Se x\neq0 é fixo, escreva a=|x|>0. Queremos calcular
\lim_{\alpha\to\infty}\left(\frac{\alpha^{2}}{2}\right)e^{-\alpha a}.
Isto é um limite do tipo \alpha^{2}/e^{\alpha a}. Como a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, esse quociente tende a zero. Uma maneira direta (rápida) de ver isto é aplicar L’Hôpital duas vezes ao limite
\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\alpha^{2}}{e^{\alpha a}}.
Derivando numerador e denominador em \alpha: a primeira derivada dá \frac{2\alpha}{a e^{\alpha a}}, a segunda dá \frac{2}{a^{2} e^{\alpha a}}, que tende a 0. Portanto
\lim_{\alpha\to\infty} f_{\alpha}(x)=0\quad\text{para todo }x\neq0.

Passo 4

Valor no ponto x=0.
Calcule diretamente
f_{\alpha}(0)=\left(\frac{\alpha^{2}}{2}\right)e^{-\alpha\cdot 0}=\frac{\alpha^{2}}{2}.
Logo
\lim_{\alpha\to\infty} f_{\alpha}(0)=+\infty.
Isto mostra que a família realmente se concentra em x=0: fora de zero vai a 0 e em zero o pico cresce para infinito. Até aqui, a condição de concentração (condição 1) está bem comportada.

Passo 5

Verificação da normalização (condição 2): calcular a integral total.
Vamos calcular exatamente
\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{\alpha^{2}}{2}\right)e^{-\alpha|x|}\,dx.
A função é par (depende de |x|), então podemos escrever
\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,dx = 2\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\alpha^{2}}{2}\right)e^{-\alpha x}\,dx = \alpha^{2}\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}\,dx.
Fazendo a integral conhecida,
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}\,dx = \frac{1}{\alpha},
portanto
\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,dx = \alpha^{2}\cdot\frac{1}{\alpha} = \alpha.

Passo 6

Consequência da integral calculada.
Do resultado do passo anterior temos
\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,dx = \alpha \xrightarrow{\alpha\to\infty} +\infty.
Ou seja, a massa total da função não é 1; pelo contrário, cresce para infinito quando \alpha\to\infty. Assim a condição de normalização (massa unitária) falha de forma clara.

Passo 7

Interpretação através de testes com funções contínuas (intuição adicional).
Se a família representasse \delta, então para qualquer função contínua e limitada \varphi deveríamos ter
\lim_{\alpha\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,\varphi(x)\,dx = \varphi(0).
Mas usando que \int f_{\alpha} = \alpha, uma decomposição simples dá, para \varepsilon>0 pequeno, dividindo em |x|\le\varepsilon e |x|>\varepsilon, que a integral principal é aproximadamente \varphi(0)\alpha (mais termos menores). Em particular, se \varphi(0)\neq 0 a integral diverge como \alpha\to\infty e não converge para \varphi(0). Portanto a propriedade de convergência contra funções teste falha drasticamente.

Passo 8

Possível correção e observação pedagógica (útil para prova).
A razão pela qual a família falha é exatamente o fator \alpha^{2}/2: ele dá massa total \alpha em vez de 1. Se quiséssemos uma família parecida que realmente aproxime \delta, bastaria normalizar pela massa total. Por exemplo, defina
g_{\alpha}(x)=\frac{f_{\alpha}(x)}{\alpha}=\left(\frac{\alpha}{2}\right)e^{-\alpha|x|}.
Então
\int_{-\infty}^{\infty} g_{\alpha}(x)\,dx = 1,
e verifica-se também que g_{\alpha}(x)\to 0 para x\neq0 e que, de fato, g_{\alpha} é uma aproximação usual de \delta(x). Essa observação é útil para a prova: muitas vezes nas questões aparece uma família parecida e a diferença está só num fator de normalização.

Resposta

Não. Porque, embora \lim_{\alpha\to\infty} f_{\alpha}(x)=0 para todo x\neq0 e f_{\alpha}(0)\to+\infty, a massa total falha: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(x)\,dx=\alpha\to+\infty, portanto não satisfaz a condição de integral igual a 1 exigida para representar \delta(x).

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