tende para a distribuição de Dirac \delta(x) quando \varepsilon\to0^{+}.
Informações fornecidas:
A expressão explícita de f_{\varepsilon}(x).
O limite pretendido é \delta(x).
O que precisamos provar (claramente): mostrar que, para qualquer função teste suficientemente regular \varphi (por exemplo \varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}), funções suaves de suporte compacto), vale
Ao provar isso, estaremos demonstrando que f_{\varepsilon} converge para \delta no sentido das distribuições (ou no sentido fraco).
Passo 2
Verificar a normalização de f_{\varepsilon}: calcular a integral de f_{\varepsilon} sobre \mathbb{R} e mostrar que é igual a 1 para todo \varepsilon>0.
Portanto, para todo \varepsilon>0 temos \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,dx=1. Isto é uma propriedade essencial de aproximações da delta: são normalizadas.
Passo 3
Observar o comportamento ponto a ponto de f_{\varepsilon} (intuição):
Ao fazer \varepsilon\to0^{+} a exponencial e^{-|x|/\varepsilon} decai como e^{-C/\varepsilon} com C=|x|>0, que vai a zero muito mais rápido que 1/\varepsilon cresce; portanto f_{\varepsilon}(x)\to 0 para todo x\neq 0.
Em x=0 tem-se f_{\varepsilon}(0)=\dfrac{1}{2\varepsilon}\to +\infty quando \varepsilon\to0^{+}.
Isso mostra que f_{\varepsilon} fica cada vez mais concentrada em torno de 0, com área total fixa igual a 1. Mas isso não prova a convergência para \delta por si só: precisamos checar a ação contra funções teste.
Passo 4
Formulação do objetivo prático: tomar qualquer \varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) (ou \varphi contínua e limitada com suporte compacto) e mostrar que
Para a parcela do exterior, usamos o máximo absoluto de \varphi no suporte (como \varphi tem suporte compacto, seja M=\sup_{x}|\varphi(x)|<\infty). Então
Juntando as estimativas: para o \eta>0 dado, existe \delta>0 tal que a porção interior é menor que \eta, e a porção exterior tende a 0 quando \varepsilon\to0^{+}. Logo, tomando primeiro \varepsilon pequeno o suficiente, garante-se
|E_{\varepsilon}|\le \eta + \text{(termo que tende a }0).
Fazendo \varepsilon\to0^{+} obtemos \limsup_{\varepsilon\to0^{+}}|E_{\varepsilon}|\le\eta. Como \eta>0 é arbitrário, segue E_{\varepsilon}\to 0.
Isto é exatamente a definição de convergência de f_{\varepsilon} para \delta no sentido das distribuições.
Passo 7
Comentário final (intuição e conclusão compacta): a família f_{\varepsilon} é uma aproximação da identidade (um “delta-sequence”) — é não-negativa, integrada a 1 e cada vez mais concentrada em torno de 0 quando \varepsilon\to0^{+}. Assim, no sentido fraco (distribucional), ela converge para a distribuição de Dirac localizada em 0.