QUESTÃO No.4 (25 pontos)
Mostre que
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left\{\frac{1}{2 \varepsilon} \exp \left(-\frac{|x|}{\varepsilon}\right)\right\}=\delta(x)
onde \exp (u)=e^{u} é a função exponencial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a família de funções
f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{2\varepsilon}\exp\!\left(-\frac{|x|}{\varepsilon}\right),\qquad \varepsilon>0,
tende para a distribuição de Dirac \delta(x) quando \varepsilon\to0^{+}.
Informações fornecidas:
  • A expressão explícita de f_{\varepsilon}(x).
  • O limite pretendido é \delta(x).
O que precisamos provar (claramente): mostrar que, para qualquer função teste suficientemente regular \varphi (por exemplo \varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}), funções suaves de suporte compacto), vale
\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,\varphi(x)\,dx=\varphi(0).
Ao provar isso, estaremos demonstrando que f_{\varepsilon} converge para \delta no sentido das distribuições (ou no sentido fraco).

Passo 2

Verificar a normalização de f_{\varepsilon}: calcular a integral de f_{\varepsilon} sobre \mathbb{R} e mostrar que é igual a 1 para todo \varepsilon>0.
Vamos calcular
I(\varepsilon)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\varepsilon}\exp\!\left(-\frac{|x|}{\varepsilon}\right)\,dx.
Como a função é par (depende de |x|), podemos escrever
I(\varepsilon)=\frac{1}{2\varepsilon}\cdot 2\int_{0}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{x}{\varepsilon}\right)\,dx.
Agora calculamos a integral simples no semieixo positivo. Fazendo a substituição u=\dfrac{x}{\varepsilon} implica dx=\varepsilon\,du. Então
\int_{0}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{x}{\varepsilon}\right)\,dx =\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,\varepsilon\,du =\varepsilon\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du =\varepsilon\cdot 1=\varepsilon.
Substituindo em I(\varepsilon) obtemos
I(\varepsilon)=\frac{1}{2\varepsilon}\cdot 2\cdot \varepsilon =1.
Portanto, para todo \varepsilon>0 temos \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,dx=1. Isto é uma propriedade essencial de aproximações da delta: são normalizadas.

Passo 3

Observar o comportamento ponto a ponto de f_{\varepsilon} (intuição):
  • Para x\neq 0 fixo, |x|>0, temos
f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{2\varepsilon}e^{-|x|/\varepsilon}.
Ao fazer \varepsilon\to0^{+} a exponencial e^{-|x|/\varepsilon} decai como e^{-C/\varepsilon} com C=|x|>0, que vai a zero muito mais rápido que 1/\varepsilon cresce; portanto f_{\varepsilon}(x)\to 0 para todo x\neq 0.
  • Em x=0 tem-se f_{\varepsilon}(0)=\dfrac{1}{2\varepsilon}\to +\infty quando \varepsilon\to0^{+}.
Isso mostra que f_{\varepsilon} fica cada vez mais concentrada em torno de 0, com área total fixa igual a 1. Mas isso não prova a convergência para \delta por si só: precisamos checar a ação contra funções teste.

Passo 4

Formulação do objetivo prático: tomar qualquer \varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) (ou \varphi contínua e limitada com suporte compacto) e mostrar que
\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,\varphi(x)\,dx=\varphi(0).
Escrevemos a integral e usamos a decomposição padrão
\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,\varphi(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx +\varphi(0)\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,dx.
Pelo Passo 2 a segunda integral vale 1, então fica
\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,\varphi(x)\,dx =\varphi(0)+\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx.
Logo basta mostrar que o termo de erro
E_{\varepsilon}:=\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx
tende a 0 quando \varepsilon\to0^{+}.

Passo 5

Estimativa do erro E_{\varepsilon} usando continuidade de \varphi. Seja \eta>0. Como \varphi é contínua em 0, existe \delta>0 tal que
|x|<\delta \quad\Rightarrow\quad |\varphi(x)-\varphi(0)|<\eta.
Dividimos E_{\varepsilon} em duas partes:
E_{\varepsilon}=\int_{|x|<\delta} f_{\varepsilon}(x)\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx +\int_{|x|\ge\delta} f_{\varepsilon}(x)\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx.
Estimamos as duas parcelas:
  1. Para a parcela do interior, usando |\varphi(x)-\varphi(0)|<\eta e que f_{\varepsilon} é não-negativa,
\left|\int_{|x|<\delta} f_{\varepsilon}(x)\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx\right| \le \eta\int_{|x|<\delta} f_{\varepsilon}(x)\,dx \le \eta\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,dx =\eta.
  1. Para a parcela do exterior, usamos o máximo absoluto de \varphi no suporte (como \varphi tem suporte compacto, seja M=\sup_{x}|\varphi(x)|<\infty). Então
\left|\int_{|x|\ge\delta} f_{\varepsilon}(x)\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx\right| \le 2M\int_{|x|\ge\delta} f_{\varepsilon}(x)\,dx.
Calculemos a integral da cauda explicitamente. Usando paridade novamente,
\int_{|x|\ge\delta} f_{\varepsilon}(x)\,dx =\frac{1}{2\varepsilon}\cdot 2\int_{\delta}^{\infty} e^{-x/\varepsilon}\,dx =\frac{1}{\varepsilon}\int_{\delta}^{\infty} e^{-x/\varepsilon}\,dx.
Fazendo a substituição u=\dfrac{x}{\varepsilon} (ou integrando diretamente),
\int_{\delta}^{\infty} e^{-x/\varepsilon}\,dx =\varepsilon e^{-\delta/\varepsilon}.
Portanto
\int_{|x|\ge\delta} f_{\varepsilon}(x)\,dx =\frac{1}{\varepsilon}\cdot \varepsilon e^{-\delta/\varepsilon} = e^{-\delta/\varepsilon}.
Como \delta>0 fixo, e^{-\delta/\varepsilon}\to 0 quando \varepsilon\to0^{+}. Assim a segunda parcela satisfaz
\left|\int_{|x|\ge\delta} f_{\varepsilon}(x)\big(\varphi(x)-\varphi(0)\big)\,dx\right| \le 2M e^{-\delta/\varepsilon}\xrightarrow[\varepsilon\to0^{+}]{}0.

Passo 6

Juntando as estimativas: para o \eta>0 dado, existe \delta>0 tal que a porção interior é menor que \eta, e a porção exterior tende a 0 quando \varepsilon\to0^{+}. Logo, tomando primeiro \varepsilon pequeno o suficiente, garante-se
|E_{\varepsilon}|\le \eta + \text{(termo que tende a }0).
Fazendo \varepsilon\to0^{+} obtemos \limsup_{\varepsilon\to0^{+}}|E_{\varepsilon}|\le\eta. Como \eta>0 é arbitrário, segue E_{\varepsilon}\to 0.
Portanto
\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{-\infty}^{\infty} f_{\varepsilon}(x)\,\varphi(x)\,dx =\varphi(0).
Isto é exatamente a definição de convergência de f_{\varepsilon} para \delta no sentido das distribuições.

Passo 7

Comentário final (intuição e conclusão compacta): a família f_{\varepsilon} é uma aproximação da identidade (um “delta-sequence”) — é não-negativa, integrada a 1 e cada vez mais concentrada em torno de 0 quando \varepsilon\to0^{+}. Assim, no sentido fraco (distribucional), ela converge para a distribuição de Dirac localizada em 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{\varepsilon\to0^{+}}\left\{\frac{1}{2\varepsilon}\exp\!\left(-\frac{|x|}{\varepsilon}\right)\right\}=\delta(x)

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