Questão 2. (25 pontos) Um sistema massa-mola satisfaz o PVI
(1)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=k \delta(t-\pi)+u_{t_{0}}(t) \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.
onde k>0 é o valor do impulso aplicadò no instante t=\pi. Determine os valores de k e t_{0}> To para que o sistema entre em equilibrio, y(t)= constante, a partir de t=t_{0}, exatamente ao atingir o primeiro alongamento máximo após o impulso inicial. Esboce o gráfico da solução encontrada.

Passo 1

O enunciado dá o problema inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4y = k\,\delta(t-\pi) + u_{t_{0}}(t)\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=0 \end{array}\right.
Onde k>0 é o impulso aplicado no instante t=\pi e u_{t_{0}}(t) é a função degrau unitário deslocada (ou seja, u_{t_{0}}(t)=0 para t<t_{0} e u_{t_{0}}(t)=1 para t\ge t_{0}).
O que o enunciado pede: determinar os valores de k e de t_{0}>0 tais que a solução fique constante (equilíbrio) a partir de t=t_{0}, e que esse instante t_{0} seja exatamente o instante do primeiro alongamento máximo após o impulso em t=\pi. Também pede esboçar o gráfico da solução encontrada.
Informações relevantes dadas:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem com força composta por um impulso ( \delta) em t=\pi e por um degrau que entra em t=t_{0}.
  • Condições iniciais nulas: y(0)=0,\;y'(0)=0.
  • Queremos que, ao atingir o primeiro máximo após o impulso, o sistema permaneça a partir daí em equilíbrio (isto é, y(t) constante para t\ge t_{0}).]

Passo 2

Entender o que significa "entrar em equilíbrio (constante) a partir de t=t_{0}".
Se y(t) é constante para t\ge t_{0}, então para t\ge t_{0} vale y'(t)=0 e y''(t)=0. Substituindo na equação para t>t_{0} (note que o delta está em t=\pi e já agiu, então não entra mais para t>t_{0}) obtemos
0+4y(t)=u_{t_{0}}(t).
Para t\ge t_{0} a função degrau tem valor 1, logo
4y(t)=1 \quad\Rightarrow\quad y(t)=\frac{1}{4}.
Portanto o equilíbrio desejado é a constante \dfrac{1}{4}. Em outras palavras, quando o degrau entrar, o valor da posição deve ser \dfrac{1}{4} e a velocidade deve ser zero, para permanecer constante depois.

Passo 3

Analisar o efeito do impulso \delta(t-\pi) e resolver a trajetória até o instante em que o degrau entra.
Propriedade importante do impulso: integrar a equação em torno de t=\pi num intervalo pequeno (\pi-\varepsilon,\pi+\varepsilon). Como y é contínua e \delta tem integral 1,
\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} y''(t)\,dt + \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon}4y(t)\,dt = \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} k\delta(t-\pi)\,dt + \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} u_{t_{0}}(t)\,dt.
No limite \varepsilon\to0 o segundo integral do lado esquerdo tende a 0 (pois y é finita) e o último integral do lado direito tende a 0 (o degrau tem salto finito, não um delta). Assim obtém-se o salto na velocidade:
y'(\pi^+)-y'(\pi^-)=k.
Antes do impulso, para 0\le t<\pi a forçante é nula (nem delta atuou ainda nem o degrau entrou), e com condições iniciais nulas segue que
y(t)=0,\qquad 0\le t<\pi.
Logo y(\pi^-)=0 e y'(\pi^-)=0. Aplicando o salto, temos
y(\pi^+)=0,\qquad y'(\pi^+)=k.
Para \pi<t<t_{0} (assumindo t_{0}>\pi) a equação é homogênea
y''+4y=0,
com condições em t=\pi dadas por y(\pi)=0,\;y'(\pi)=k. A equação homogênea tem solução de forma harmônica com frequência natural \omega=2 (pois \omega^2=4):
A forma geral é
y(t)=A\cos(2(t-\pi)) + B\sin(2(t-\pi)).
Impondo y(\pi)=0 A=0. Impondo y'(\pi)=k: derivando,
y'(t)= -2A\sin(2(t-\pi)) + 2B\cos(2(t-\pi)),
logo em t=\pi obtemos y'(\pi)=2B=k, ou seja B=\dfrac{k}{2}. Assim, para \pi<t<t_{0}
y(t)=\frac{k}{2}\sin\bigl(2(t-\pi)\bigr).
Isso faz sentido físico: o impulso dá uma velocidade inicial k e o sistema vibra harmonicamente com amplitude proporcional a k.

Passo 4

Encontrar o primeiro alongamento máximo após o impulso e impor que ele coincida com o instante t_{0} em que o degrau entra e o sistema deve estar em y=\dfrac{1}{4} com velocidade zero.
A função \sin atinge o primeiro máximo quando o argumento é \dfrac{\pi}{2}. Para y(t)=\dfrac{k}{2}\sin\bigl(2(t-\pi)\bigr) o primeiro máximo após t=\pi ocorre quando
2(t-\pi)=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad t-\pi=\frac{\pi}{4}\quad\Rightarrow\quad t_{\text{max}}=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Logo o primeiro máximo aparece em t=\dfrac{5\pi}{4}. O valor nesse máximo é
y_{\max}=\frac{k}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{k}{2}.
Pelo passo 2, para que ao entrar o degrau o sistema fique em equilíbrio a constante deve ser \dfrac{1}{4}. Portanto é necessário que
y_{\max}=\frac{k}{2}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{2}.
E o instante t_{0} em que o degrau deve entrar é exatamente o instante do primeiro máximo:
t_{0}=\frac{5\pi}{4}.
Verificações rápidas: t_{0}=\dfrac{5\pi}{4}>\pi como exigido; k=\dfrac{1}{2}>0 conforme dado.

Passo 5

Verificar continuidade e consistência no instante t_{0}=\dfrac{5\pi}{4} e comportamento para t\ge t_{0}.
  • Valor em t_{0}^-: com k=\dfrac{1}{2},
y\!\left(\frac{5\pi}{4}^-\right)=\frac{k}{2}\sin\bigl(2(\tfrac{5\pi}{4}-\pi)\bigr)=\frac{1/2}{2}\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\frac{1}{4}.
  • Velocidade em t_{0}^-: como é um máximo, y'\!\left(\tfrac{5\pi}{4}^-\right)=0.
No instante t_{0} o termo de forçamento u_{t_{0}}(t) salta de 0 para 1. Esse salto é finito (não é um delta), e para equações do tipo y''+4y= forçante com salto finito, a derivada y' permanece contínua (integrando sobre intervalo que tende a zero, o lado direito multiplica o comprimento do intervalo e tende a zero). Portanto não há salto em y' em t_{0}. Como o valor e a derivada já coincidem com os do equilíbrio (valor \tfrac{1}{4} e derivada zero) imediatamente antes de t_{0}, a solução continua a partir de t_{0} exatamente igual ao equilíbrio:
y(t)=\frac{1}{4},\qquad t\ge \frac{5\pi}{4}.
Isso confirma que com k=\dfrac{1}{2} e t_{0}=\dfrac{5\pi}{4} a solução atinge seu primeiro máximo exatamente quando o degrau entra, e a partir daí permanece constante.

Passo 6

Escrever a solução completa (peça a peça) usando os valores encontrados e descrever o esboço do gráfico.
Solução peça a peça com k=\dfrac{1}{2} e t_{0}=\dfrac{5\pi}{4}:
  • Para 0\le t<\pi:
y(t)=0.
  • No impulso em t=\pi ocorre salto na velocidade y'(\pi^+)=k=\dfrac{1}{2} e então, para \pi<t<\dfrac{5\pi}{4},
y(t)=\frac{k}{2}\sin\bigl(2(t-\pi)\bigr)=\frac{1}{4}\sin\bigl(2(t-\pi)\bigr).
  • Para t\ge \dfrac{5\pi}{4}:
y(t)=\frac{1}{4}.
Esboço do gráfico (descrição):
  • De t=0 até t=\pi a função está em zero (descanso).
  • No instante t=\pi há um impulso que instantaneamente gera velocidade positiva; em seguida o sistema oscila sinusoidalmente com frequência 2, começando em zero e subindo.
  • O primeiro pico positivo ocorre em t=\dfrac{5\pi}{4} com altura \dfrac{1}{4}.
  • Justo nesse instante o degrau entra e o sistema estabiliza em y=\dfrac{1}{4} e permanece constante depois. Assim o gráfico mostra uma meia oscilação positiva que vai de 0 (em t=\pi) até \tfrac{1}{4} (em t=\tfrac{5\pi}{4}), e daí segue horizontal.
Força também uma intuição física: o impulso deu velocidade inicial para “lançar” a massa até o primeiro máximo; se esse máximo coincide com a posição de equilíbrio imposta pelo degrau, então a massa passa a ficar exatamente em equilíbrio naquele ponto e não oscila mais.

Resposta

k=\dfrac{1}{2}
t_{0}=\dfrac{5\pi}{4}

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