Questão 2. (25 pontos) Um sistema massa-mola satisfaz o PVI
(1)
onde
é o valor do impulso aplicadò no instante
. Determine os valores de
e
To para que o sistema entre em equilibrio,
constante, a partir de
, exatamente ao atingir o primeiro alongamento máximo após o impulso inicial. Esboce o gráfico da solução encontrada.
(1)
Passo 1
O enunciado dá o problema inicial:
Onde
é o impulso aplicado no instante
e
é a função degrau unitário deslocada (ou seja,
para
e
para
).
O que o enunciado pede: determinar os valores de e de
tais que a solução fique constante (equilíbrio) a partir de
, e que esse instante
seja exatamente o instante do primeiro alongamento máximo após o impulso em
. Também pede esboçar o gráfico da solução encontrada.
O que o enunciado pede: determinar os valores de
Informações relevantes dadas:
- Equação diferencial linear de segunda ordem com força composta por um impulso (
) em e por um degrau que entra em . - Condições iniciais nulas:
. - Queremos que, ao atingir o primeiro máximo após o impulso, o sistema permaneça a partir daí em equilíbrio (isto é,
constante para ).]
Passo 2
Entender o que significa "entrar em equilíbrio (constante) a partir de
".
Se
é constante para
, então para
vale
e
. Substituindo na equação para
(note que o delta está em
e já agiu, então não entra mais para
) obtemos
Para
a função degrau tem valor
, logo
Portanto o equilíbrio desejado é a constante
. Em outras palavras, quando o degrau entrar, o valor da posição deve ser
e a velocidade deve ser zero, para permanecer constante depois.
Passo 3
Analisar o efeito do impulso
e resolver a trajetória até o instante em que o degrau entra.
Propriedade importante do impulso: integrar a equação em torno de
num intervalo pequeno
. Como
é contínua e
tem integral
,
No limite
o segundo integral do lado esquerdo tende a
(pois
é finita) e o último integral do lado direito tende a
(o degrau tem salto finito, não um delta). Assim obtém-se o salto na velocidade:
Antes do impulso, para
a forçante é nula (nem delta atuou ainda nem o degrau entrou), e com condições iniciais nulas segue que
Logo
e
. Aplicando o salto, temos
Para
(assumindo
) a equação é homogênea
com condições em
dadas por
. A equação homogênea tem solução de forma harmônica com frequência natural
(pois
):
A forma geral é
A forma geral é
Impondo
dá
. Impondo
: derivando,
logo em
obtemos
, ou seja
. Assim, para
Isso faz sentido físico: o impulso dá uma velocidade inicial
e o sistema vibra harmonicamente com amplitude proporcional a
.
Passo 4
Encontrar o primeiro alongamento máximo após o impulso e impor que ele coincida com o instante
em que o degrau entra e o sistema deve estar em
com velocidade zero.
A função
atinge o primeiro máximo quando o argumento é
. Para
o primeiro máximo após
ocorre quando
Logo o primeiro máximo aparece em
. O valor nesse máximo é
Pelo passo 2, para que ao entrar o degrau o sistema fique em equilíbrio a constante deve ser
. Portanto é necessário que
E o instante
em que o degrau deve entrar é exatamente o instante do primeiro máximo:
Verificações rápidas:
como exigido;
conforme dado.
Passo 5
Verificar continuidade e consistência no instante
e comportamento para
.
- Valor em
: com ,
- Velocidade em
: como é um máximo, .
No instante
o termo de forçamento
salta de
para
. Esse salto é finito (não é um delta), e para equações do tipo
forçante com salto finito, a derivada
permanece contínua (integrando sobre intervalo que tende a zero, o lado direito multiplica o comprimento do intervalo e tende a zero). Portanto não há salto em
em
. Como o valor e a derivada já coincidem com os do equilíbrio (valor
e derivada zero) imediatamente antes de
, a solução continua a partir de
exatamente igual ao equilíbrio:
Isso confirma que com
e
a solução atinge seu primeiro máximo exatamente quando o degrau entra, e a partir daí permanece constante.
Passo 6
Escrever a solução completa (peça a peça) usando os valores encontrados e descrever o esboço do gráfico.
Solução peça a peça com
e
:
- Para
:
- No impulso em
ocorre salto na velocidade e então, para ,
- Para
:
Esboço do gráfico (descrição):
- De
até a função está em zero (descanso). - No instante
há um impulso que instantaneamente gera velocidade positiva; em seguida o sistema oscila sinusoidalmente com frequência , começando em zero e subindo. - O primeiro pico positivo ocorre em
com altura . - Justo nesse instante o degrau entra e o sistema estabiliza em
e permanece constante depois. Assim o gráfico mostra uma meia oscilação positiva que vai de (em ) até (em ), e daí segue horizontal.
Força também uma intuição física: o impulso deu velocidade inicial para “lançar” a massa até o primeiro máximo; se esse máximo coincide com a posição de equilíbrio imposta pelo degrau, então a massa passa a ficar exatamente em equilíbrio naquele ponto e não oscila mais.