Questão 25. Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o comprimento (X) do corpo de ternos de tamanho 2 que são confeccionados pela empresa. Sabendo que X segue uma distribuição normal com média igual a 90,0 \mathrm{~cm} e desvio padrão de 0,9 \mathrm{~cm}, calcule as seguintes probabilidades:
de encontrar ternos com comprimento maior que 91,5 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A variável X (comprimento do corpo de ternos tamanho 2) segue uma distribuição normal com média \mu = 90,0 cm e desvio padrão \sigma = 0,9 cm.
  • Pergunta: calcular a probabilidade de encontrar ternos com comprimento maior que 91,5 cm, ou seja, P(X>91,5).

Passo 2

Entendimento do que queremos calcular: a notação P(X>91,5) significa “a fração (probabilidade) de ternos cuja medida X excede 91,5 cm”. Para trabalhar com a normal é muito comum transformar X numa variável normal padrão Z (que tem média 0 e desvio padrão 1) — isso facilita usar tabelas ou valores conhecidos da distribuição normal.

Passo 3

Explicação da padronização (o passo-chave):
  • A variável Z é definida por
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original (comprimento),
  • \mu é a média de X,
  • \sigma é o desvio padrão de X.
  • Por que fazer isso? Porque Z tem distribuição normal padrão com média 0 e desvio 1. Assim probabilidades como P(X>a) viram P(Z>z) com z encontrado pela fórmula acima, e depois usamos a tabela da normal padrão (ou calculadora).

Passo 4

Aplicando a padronização ao nosso valor 91,5:
  • Primeiro calculamos a diferença em relação à média:
91,5 - 90,0 = 1,5.
  • Agora dividimos pelo desvio padrão:
z = \frac{1,5}{0,9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} = 1,666\ldots
Ou seja, z \approx 1,6667.

Passo 5

Converter a probabilidade em termo de Z:
P(X>91,5) = P\!\left(Z > 1,666\ldots\right).
Para encontrar P(Z>1,666\ldots) usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, geralmente denotada por \Phi(z), que dá \Phi(z)=P(Z\le z). Então
P(Z>1,666\ldots)=1-\Phi(1,666\ldots).

Passo 6

Obter \Phi(1,666\ldots) usando tabela da normal padrão (ou calculadora):
  • Em tabela, normalmente encontramos valores para z=1,66 e z=1,67.
  • Da tabela: \Phi(1,66)=0,9515 e \Phi(1,67)=0,9525.
  • Nosso valor 1,666\ldots está dois terços do caminho entre 1,66 e 1,67. Fazendo uma interpolação linear rápida:
\Phi(1,666\ldots) \approx 0,9515 + 0,667\cdot(0,9525-0,9515) =0,9515 + 0,000667 \approx 0,95217.
Arredondando razoavelmente, \Phi(1,666\ldots)\approx 0,9522.

Passo 7

Calcular a probabilidade complementar e interpretar:
P(X>91,5)=1-\Phi(1,666\ldots)\approx 1-0,9522=0,0478.
Em porcentagem isso equivale a 4,78\%. Ou seja, cerca de 4,78\% dos ternos terão comprimento maior que 91,5 cm.

Resposta

P(X>91,5)=0,0478

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