Questão 26. Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue uma distribuição normal com média 75,4^{\circ} \mathrm{C} e desvio padrão 2,2^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a 70^{\circ} \mathrm{C}, o leite poderá ficar com bactérias maléficas.
a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas?
b) Considerando 1000 utilizações de um pasteurizador, em média, quantas a temperatura deve ser inferior a 70^{\circ} \mathrm{C} podendo prejudicar o leite?
c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bactérias maléficas?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
Dados fornecidos (vou escrever cada número do jeito do enunciado):
  • A temperatura do pasteurizador segue uma distribuição normal com média \mu = 75,4^\circ\mathrm{C}.
  • O desvio padrão é \sigma = 2,2^\circ\mathrm{C}.
  • Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a 70^\circ\mathrm{C}, o leite pode ficar com bactérias maléficas.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas? (ou seja, qual é P(X<70) onde X é a temperatura).
(b) Considerando 1000 utilizações do pasteurizador, em média, quantas terão temperatura inferior a 70^\circ\mathrm{C}?
(c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador nenhuma tenha temperatura inferior a 70^\circ\mathrm{C}?

Passo 2

Vamos modelar o problema com uma variável aleatória e lembrar a coisa básica da distribuição normal.
Definimos X = temperatura medida numa utilização do pasteurizador. Pelas informações,
X \sim N\bigl(\mu=75,4,\\ \sigma^2=2,2^2\bigr).
Isto significa que as temperaturas seguem uma curva em forma de sino centrada em 75,4^\circ\mathrm{C} e espalhadas com desvio padrão 2,2^\circ\mathrm{C}. Para calcular probabilidades do tipo P(X<a) usamos a normal padrão (que é a normal com média 0 e desvio 1) através da padronização — isso facilita porque tabelas e calculadoras estão em função da normal padrão.

Passo 3

Explicando a padronização (passo-a-passo didático):
A padronização transforma X numa variável Z que tem distribuição normal padrão N(0,1). A fórmula é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média ( 75,4) e \sigma é o desvio padrão ( 2,2). Aplicamos isso para a=70, porque queremos P(X<70):
z = \frac{70-75,4}{2,2} = \frac{-5,4}{2,2}.
Agora faço a divisão: -5,4\div 2,2 = -2,4545\ldots (repetindo). Então
z\approx -2,4545.

Passo 4

Interpretação do z:
P(X<70) = P\!\left(\frac{X-75,4}{2,2} < \frac{70-75,4}{2,2}\right) = P(Z < z) = P(Z < -2,4545\ldots),
onde Z\sim N(0,1).
Para obter esse valor usamos tabela da normal padrão (ou calculadora). Nas tabelas costuma-se ter valores para z=-2,45 e z=-2,46. Encontramos (valores de tabela padrão):
\Phi(-2,45)\approx 0,00714,\qquad \Phi(-2,46)\approx 0,00695.
Como nosso z está entre esses dois, em z\approx -2,455, fazemos uma interpolação simples (média aproximada):
P(X<70)=\Phi(-2,4545)\approx 0,00705.
Explicando: isto significa cerca de 0{,}00705 em probabilidade absoluta, ou seja 0{,}705\% em porcentagem. É uma probabilidade pequena (cerca de sete casos a cada mil).

Passo 5

Conclusão da parte (a) com interpretação:
A probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas (temperatura abaixo de 70^\circ\mathrm{C}) é aproximadamente 0{,}00705, isto é, cerca de 0{,}705\%.

Passo 6

Parte (b): transformar a probabilidade individual numa média esperada em 1000 utilizações.
Modelagem e fórmula: supondo que cada utilização é independente e tem a mesma probabilidade p de dar temperatura ruim, o número de usos com problema em n tentativas segue um modelo binomial B(n,p). A esperança (valor médio) de uma binomial é
E[\text{nº de casos}] = n\cdot p.º
Aqui n=1000 e p\approx 0{,}00705. Então
E = 1000 \times 0{,}00705 = 7{,}05.
Interpretação prática: em média, entre 7 e 8 utilizações (mais precisamente 7,05) a temperatura ficará abaixo de 70^\circ\mathrm{C}. Em linguagem de prova é aceitável dizer “aproximadamente 7 utilizações” como resposta.

Passo 7

Parte (c): probabilidade de que em 10 utilizações nenhuma tenha temperatura abaixo de 70^\circ\mathrm{C}.
Modelo: novamente usamos a binomial com n=10 e p como probabilidade de “insucesso” (temperatura ruim). Queremos a probabilidade de k=0 ocorrências; a fórmula da probabilidade binomial é
P(K=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.
Para k=0 temos \binom{n}{0}=1 e p^0=1, então
P(K=0) = (1-p)^n.
Substituindo p\approx 0{,}00705 e n=10:
P(K=0) \approx (1-0{,}00705)^{10} = 0{,}99295^{10}.
Cálculo aproximado (usando expansão log ou calculadora): \ln(0{,}99295)\approx -0{,}00708, então 10\ln(0{,}99295)\approx -0{,}0708 e exponenciando obtemos
P(K=0) \approx e^{-0{,}0708}\approx 0{,}9317.
Interpretação: há cerca de 93{,}17\% de chance de que em uma sequência de 10 utilizações nenhuma apresente temperatura abaixo de 70^\circ\mathrm{C}. Ou seja, é bem provável que, num bloco de 10 usos, nenhum esteja fora do limite.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido e incentivo: então a chance individual é bem pequena (cerca de 0{,}7\%), por isso em 1000 usos esperamos só cerca de 7 problemas; e em blocos pequenos de 10 usos é muito provável (∼93%) que não haja nenhum problema. Vai dar certo na prova — você já tem o passo a passo: padronizar, consultar tabela/usar calculadora, aplicar expectativa binomial e a fórmula (1-p)^n.

Resposta

(a) 0,00705 (aprox. 0,705\%)
(b) 7,05 (em média; aproximadamente 7 utilizações)
(c) 0,9317 (aprox. 93,17\%)

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