Questão 26. Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a
, o leite poderá ficar com bactérias maléficas.
a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas?
b) Considerando 1000 utilizações de um pasteurizador, em média, quantas a temperatura deve ser inferior a
podendo prejudicar o leite?
c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bactérias maléficas?
a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas?
b) Considerando 1000 utilizações de um pasteurizador, em média, quantas a temperatura deve ser inferior a
c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bactérias maléficas?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
Dados fornecidos (vou escrever cada número do jeito do enunciado):
Dados fornecidos (vou escrever cada número do jeito do enunciado):
- A temperatura do pasteurizador segue uma distribuição normal com média
. - O desvio padrão é
. - Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a
, o leite pode ficar com bactérias maléficas.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas? (ou seja, qual é onde
é a temperatura).
(b) Considerando 1000 utilizações do pasteurizador, em média, quantas terão temperatura inferior a ?
(c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador nenhuma tenha temperatura inferior a ?
(a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas? (ou seja, qual é
(b) Considerando 1000 utilizações do pasteurizador, em média, quantas terão temperatura inferior a
(c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador nenhuma tenha temperatura inferior a
Passo 2
Vamos modelar o problema com uma variável aleatória e lembrar a coisa básica da distribuição normal.
Definimos = temperatura medida numa utilização do pasteurizador. Pelas informações,
Definimos
Isto significa que as temperaturas seguem uma curva em forma de sino centrada em
e espalhadas com desvio padrão
. Para calcular probabilidades do tipo
usamos a normal padrão (que é a normal com média 0 e desvio 1) através da padronização — isso facilita porque tabelas e calculadoras estão em função da normal padrão.
Passo 3
Explicando a padronização (passo-a-passo didático):
A padronização transforma numa variável
que tem distribuição normal padrão
. A fórmula é
A padronização transforma
Aqui
é a média (
) e
é o desvio padrão (
). Aplicamos isso para
, porque queremos
:
Agora faço a divisão:
(repetindo). Então
Passo 4
Interpretação do
:
onde
.
Para obter esse valor usamos tabela da normal padrão (ou calculadora). Nas tabelas costuma-se ter valores para
e
. Encontramos (valores de tabela padrão):
Como nosso
está entre esses dois, em
, fazemos uma interpolação simples (média aproximada):
Explicando: isto significa cerca de
em probabilidade absoluta, ou seja
em porcentagem. É uma probabilidade pequena (cerca de sete casos a cada mil).
Passo 5
Conclusão da parte (a) com interpretação:
A probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas (temperatura abaixo de ) é aproximadamente
, isto é, cerca de
.
A probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas (temperatura abaixo de
Passo 6
Parte (b): transformar a probabilidade individual numa média esperada em
utilizações.
Modelagem e fórmula: supondo que cada utilização é independente e tem a mesma probabilidade de dar temperatura ruim, o número de usos com problema em
tentativas segue um modelo binomial
. A esperança (valor médio) de uma binomial é
Modelagem e fórmula: supondo que cada utilização é independente e tem a mesma probabilidade
Aqui
e
. Então
Interpretação prática: em média, entre 7 e 8 utilizações (mais precisamente 7,05) a temperatura ficará abaixo de
. Em linguagem de prova é aceitável dizer “aproximadamente
utilizações” como resposta.
Passo 7
Parte (c): probabilidade de que em
utilizações nenhuma tenha temperatura abaixo de
.
Modelo: novamente usamos a binomial com e
como probabilidade de “insucesso” (temperatura ruim). Queremos a probabilidade de
ocorrências; a fórmula da probabilidade binomial é
Modelo: novamente usamos a binomial com
Para
temos
e
, então
Substituindo
e
:
Cálculo aproximado (usando expansão log ou calculadora):
, então
e exponenciando obtemos
Interpretação: há cerca de
de chance de que em uma sequência de 10 utilizações nenhuma apresente temperatura abaixo de
. Ou seja, é bem provável que, num bloco de 10 usos, nenhum esteja fora do limite.
Passo 8
Resumo interpretativo rápido e incentivo: então a chance individual é bem pequena (cerca de
), por isso em 1000 usos esperamos só cerca de 7 problemas; e em blocos pequenos de 10 usos é muito provável (∼93%) que não haja nenhum problema. Vai dar certo na prova — você já tem o passo a passo: padronizar, consultar tabela/usar calculadora, aplicar expectativa binomial e a fórmula
.
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b) (em média; aproximadamente
utilizações)
(c) (aprox.
)
(b)
(c)