Questão 25. Resolver \left(2 x^{3} y^{2}+4 x^{2} y+2 x y^{2}+x y^{4}+2 y\right) d x+2\left(y^{3}+x^{2} y+x\right) d y=0. (Resp. Use fator integrante. \left(2 x^{2} y^{2}+4 x y+y^{4}\right) e^{x^{2}}=C. )

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = 2x^3y^2 + 4x^2y + 2xy^2 + x y^4 + 2y,
N(x,y) = 2\bigl(y^3 + x^2y + x\bigr).
O tema é o uso de fator integrante para tornar a equação exata e, em seguida, encontrar a função potencial cuja diferencial total se anula.

Passo 2

Verificamos se a equação já é exata calculando
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Temos
\frac{\partial M}{\partial y} =4x^3y + 4x^2 + 4xy + 4xy^3 + 2,
\frac{\partial N}{\partial x} =4xy + 2.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de x. Lembrando que, se
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}
depende apenas de x, então \mu(x) = \exp\bigl(\int (\partial M/\partial y - \partial N/\partial x)/N \,dx\bigr).
Calculamos
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} =\frac{(4x^3y+4x^2+4xy^3+2)-(4xy+2)}{2(y^3+x^2y+x)} =\frac{4x\,(x^2y + x + y^3)}{2(x^2y + x + y^3)} =2x,
que de fato depende só de x. Logo
\mu(x)=e^{\int 2x\,dx}=e^{x^2}.

Passo 4

Multiplicamos a ODE original por \mu(x)=e^{x^2}, obtendo
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0
com
M^*(x,y) = \bigl(2x^3y^2 + 4x^2y + 2xy^2 + x y^4 + 2y\bigr)e^{x^2},
N^*(x,y) = 2\bigl(y^3 + x^2y + x\bigr)e^{x^2}.
Por construção essa nova equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M^*(x,y).
Integramos M^* em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) =\int \bigl(2x^3y^2 + 4x^2y + 2xy^2 + x y^4 + 2y\bigr)e^{x^2}\,dx.
Observe que a derivada de e^{x^2} é 2x\,e^{x^2}, então podemos agrupar termos e achar
\Psi(x,y) =\bigl(x^2y^2 + 2xy + \tfrac12y^4\bigr)e^{x^2} + h(y),
onde h(y) é “constante” de integração em relação a x.

Passo 6

Para determinar h(y), impomos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} \overset{!}{=}N^*(x,y).
Calculando \partial \Psi/\partial y e comparando com N^* vemos que h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Passo 7

A solução implícita é
\Psi(x,y)=\bigl(x^2y^2 + 2xy + \tfrac12y^4\bigr)e^{x^2} = C.
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos a forma dada:

Resposta

\bigl(2x^2y^2 +4xy + y^4\bigr)e^{x^2}=C.

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