Questão 25. Resolver
. (Resp. Use fator integrante.
. )
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial da forma
com
O tema é o uso de fator integrante para tornar a equação exata e, em seguida, encontrar a função potencial cuja diferencial total se anula.
Passo 2
Verificamos se a equação já é exata calculando
Temos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Lembrando que, se
depende apenas de
, então
.
Calculamos
Calculamos
que de fato depende só de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a ODE original por
, obtendo
com
Por construção essa nova equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Observe que a derivada de
é
, então podemos agrupar termos e achar
onde
é “constante” de integração em relação a
.
Passo 6
Para determinar
, impomos
Calculando
e comparando com
vemos que
, ou seja,
é constante.
Passo 7
A solução implícita é
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos a forma dada: