Questão 26 Mostre que a equação cartesiana do plano definido no \mathbb{R}^{3} pelos pontos \left(a_{1}, b_{1}, c_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right) e\left(a_{3}, b_{3}, c_{3}\right) pode ser escrita na forma
\left|\begin{array}{lll} x-a_{1} & y-b_{1} & z-c_{1} \\ x-a_{2} & y-b_{2} & z-c_{2} \\ x-a_{3} & y-b_{3} & z-c_{3} \end{array}\right|=0 .

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana do plano em \mathbb{R}^3 que passa por três pontos não colineares
P_1=(a_1,b_1,c_1),\quad P_2=(a_2,b_2,c_2),\quad P_3=(a_3,b_3,c_3).
Vamos usar a ideia de que um ponto genérico X=(x,y,z) pertence a esse plano se, e somente se, os vetores \overrightarrow{P_1P_2},\overrightarrow{P_1P_3},\overrightarrow{P_1X} forem coplanares. Para testar coplanaridade usamos o produto misto (produto escalar-triple), que se escreve como determinante de uma matriz 3\times3.

Passo 2

Escrevemos as componentes dos vetores:
\overrightarrow{P_1P_2}=(a_2-a_1,\;b_2-b_1,\;c_2-c_1),
\overrightarrow{P_1P_3}=(a_3-a_1,\;b_3-b_1,\;c_3-c_1),
\overrightarrow{P_1X}=(x-a_1,\;y-b_1,\;z-c_1).
A condição de coplanaridade é
\bigl(\overrightarrow{P_1X}\times\overrightarrow{P_1P_2}\bigr)\cdot\overrightarrow{P_1P_3}=0.

Passo 3

O produto escalar-triple acima pode ser escrito como determinante:
\det \begin{pmatrix} x - a_1 & y - b_1 & z - c_1 \\\ a_2 - a_1 & b_2 - b_1 & c_2 - c_1 \\\ a_3 - a_1 & b_3 - b_1 & c_3 - c_1 \end{pmatrix} =0.

Passo 4

Agora mostramos que esse determinante coincide com
\det \begin{pmatrix} x - a_1 & y - b_1 & z - c_1 \\\ x - a_2 & y - b_2 & z - c_2 \\\ x - a_3 & y - b_3 & z - c_3 \end{pmatrix}.
Basta aplicar operações elementares de linha na segunda e na terceira linha da última matriz:
linha 2 \leftarrow linha 2 – linha 1
e
linha 3 \leftarrow linha 3 – linha 1.
Isso transforma as linhas 2 e 3 em (a_2-a_1,\;b_2-b_1,\;c_2-c_1) e (a_3-a_1,\;b_3-b_1,\;c_3-c_1), possivelmente com sinais -1 extraídos. Como extraímos dois sinais -1, o determinante fica inalterado.

Passo 5

Concluímos que a condição de coplanaridade, ou seja, o produto misto igual a zero, pode ser escrita diretamente como
\det \begin{pmatrix} x - a_1 & y - b_1 & z - c_1 \\\ x - a_2 & y - b_2 & z - c_2 \\\ x - a_3 & y - b_3 & z - c_3 \end{pmatrix} =0.

Resposta

\left|\begin{array}{lll} x - a_{1} & y - b_{1} & z - c_{1} \\\ x - a_{2} & y - b_{2} & z - c_{2} \\\ x - a_{3} & y - b_{3} & z - c_{3} \end{array}\right| = 0.

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