Questão 27 (ITA-10) Sobre as linhas da matriz A=\left(\begin{array}{cccc}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), sabe-se que \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) e \left(y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}\right) são progressões geométricas de razão 3 e 4 e de soma 80 e 255, respectivamente. Determine \operatorname{det}\left(A^{-1}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\[6pt] y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \\[3pt] 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
em que (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}) são progressões geométricas de razões 3 e 4 e de somas 80 e 255, respectivamente. Precisamos achar \det(A^{-1}). Vamos usar:
  1. Fórmula da soma de uma PG.
  2. Expansão de Laplace para \det(A).
  3. Propriedade \det(A^{-1}) = 1/\det(A).]

Passo 2

Calcular os termos \{x_i\}. Se a PG tem primeiro termo a e razão 3, então
x_1 = a,\quad x_2=3a,\quad x_3=9a,\quad x_4=27a,
e a soma é
a + 3a + 9a + 27a = 40a = 80 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.
Logo
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (2,\,6,\,18,\,54).
Analogamente, se a PG \{y_i\} tem primeiro termo b e razão 4,
y_1 = b,\;y_2=4b,\;y_3=16b,\;y_4=64b,
com soma
b+4b+16b+64b = 85b = 255 \quad\Longrightarrow\quad b = 3,
logo
(y_1,y_2,y_3,y_4) = (3,\,12,\,48,\,192).

Passo 3

Vamos calcular \det(A) por expansão de Laplace na terceira linha. A única entrada não nula em R_3 é a_{3,4}=1, com sinal (-1)^{3+4}=-1. O menor correspondente é a matriz M obtida eliminando linha 3 e coluna 4, isto é
M = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\\ y_1 & y_2 & y_3\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Logo
\det(A) = -1 \cdot \det(M).
Para \det(M) expandimos na terceira linha, onde apenas M_{3,1}=1 é não nulo, com sinal (-1)^{3+1}=+1. O cofactor é o determinante do submenor 2\times2 em colunas 2 e 3:
\det(M) = 1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}x_2 & x_3\\\ y_2 & y_3\end{pmatrix} = x_2\,y_3 - x_3\,y_2.
Portanto
\det(A) = -\bigl(x_2\,y_3 - x_3\,y_2\bigr) = x_3\,y_2 \;-\; x_2\,y_3.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
x_2 = 6,\; x_3 = 18,\; y_2 = 12,\; y_3 = 48,
temos
\det(A) = 18\cdot12 \;-\; 6\cdot48 = 216 - 288 = -72.

Passo 5

Usando \det(A^{-1}) = 1/\det(A), conclui-se
\det\bigl(A^{-1}\bigr) = \frac{1}{-72} = -\tfrac{1}{72}.

Resposta

-\tfrac{1}{72}

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