Questão 27. Mostre que a equação diferencial
não é exata. Multiplicando a equação por
, mostre que a nova equação é exata. Resolva a equação. (Resp.
ou
. )
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma
e pede para mostrar que ela não é exata, depois torná-la exata multiplicando por
e, finalmente, resolver a equação. Isso faz parte do conteúdo de equações exatas e fatores integrantes.
e, finalmente, resolver a equação. Isso faz parte do conteúdo de equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Para ver que a equação original não é exata, defino
e comparo
Como
, concluímos que a forma não é exata.
Passo 3
Multiplico ambos os lados por
.
Isso gera
Isso gera
Calcula-se então
e como essas derivadas coincidem, a nova equação é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em
(com
constante):
Passo 5
Para determinar
, uso
Isolando
:
logo
.
Assim
Assim
Passo 6
A solução geral implícita é
ou seja
Elevando
e rearranjando, chega-se a
onde
.
Resposta
ou