Questão 29. Resolver y(2 x y+1) d x+x\left(1+2 x y-x^{3} y^{3}\right) d y=0. (Resp. Verifique que \mu(x, y)=\frac{1}{x^{4} y^{4}} é um fator integrante. -\ln y-\frac{1}{x^{2} y^{2}}-\frac{1}{3 x^{3} y^{3}}=C. )

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,(2xy+1)\,dx \;+\; x\bigl(1+2xy - x^3y^3\bigr)\,dy \;=\; 0
que não é exata à primeira vista. Vamos reconhecer o conteúdo como equação de primeira ordem que pode se tornar exata por um fator integrante e aplicar esse método para encontrar a solução implícita.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = y\,(2xy+1) = 2x y^2 + y, \qquad N(x,y) = x\bigl(1+2xy - x^3y^3\bigr) = x + 2x^2y - x^4y^3.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 4xy + 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 4xy - 4x^3y^3,
logo \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, não é exata. O enunciado indica o fator integrante
\mu(x,y) = \frac{1}{x^4 y^4}.

Passo 3

Multiplicamos a equação por \mu e obtemos
\widetilde M = \frac{M}{x^4y^4} = \frac{2x y^2 + y}{x^4y^4} = \frac{2}{x^3y^2} + \frac{1}{x^4y^3},
\widetilde N = \frac{N}{x^4y^4} = \frac{x + 2x^2y - x^4y^3}{x^4y^4} = \frac{1}{x^3y^4} + \frac{2}{x^2y^3} - \frac{1}{y}.
Verificamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = -\frac{4}{x^3y^3} \;-\;\frac{3}{x^4y^4}, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = -\frac{3}{x^4y^4} \;-\;\frac{4}{x^3y^3},
portanto \partial \widetilde M/\partial y = \partial \widetilde N/\partial x e a equação torna-se exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \widetilde M, \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = \widetilde N.
Integramos \widetilde M em x:
\varphi(x,y) = \int \Bigl(\frac{2}{x^3y^2} + \frac{1}{x^4y^3}\Bigr)\,dx = -\frac{1}{x^2y^2} \;-\;\frac{1}{3x^3y^3} + h(y).

Passo 5

Para encontrar h(y), derivamos \varphi em y e igualamos a \widetilde N:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{2}{x^2y^3} + \frac{1}{x^3y^4} + h'(y) \overset{!}{=} \frac{2}{x^2y^3} + \frac{1}{x^3y^4} - \frac{1}{y}.
Dessa igualdade vem h'(y) = -\tfrac{1}{y}, ou seja h(y) = -\ln y. Logo a solução implícita é
\varphi(x,y) = -\ln y \;-\;\frac{1}{x^2y^2} \;-\;\frac{1}{3x^3y^3} = C.

Resposta

-\ln y \;-\;\frac{1}{x^2y^2} \;-\;\frac{1}{3x^3y^3} = C.

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