Questão 28. Cacule a integral tripla \iiint_{E}\left(4+5 x^{2} y z^{2}\right) d V, em que E é a região cilíndrica x^{2}+y^{2} \leq 4,-2 \leq z \leq 2, usando apenas interpretação geométrica e simetria. [Resp.: 64 \pi.]

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla
\iiint_{E}\bigl(4+5x^{2}yz^{2}\bigr)\,dV
onde E é o cilindro dado por x^{2}+y^{2}\le4 e -2\le z\le2. O conteúdo envolve integrais triplas e uso de simetria para simplificar.

Passo 2

Pela linearidade da integral, escrevemos
\iiint_{E}\bigl(4+5x^{2}yz^{2}\bigr)\,dV = \iiint_{E}4\,dV + \iiint_{E}5x^{2}y z^{2}\,dV.

Passo 3

Repare que a função f(x,y,z)=5x^{2}y z^{2} é ímpar em y, pois troca de sinal quando y\to -y, enquanto a região E é simétrica em y. Logo
\iiint_{E}5x^{2}y z^{2}\,dV=0.

Passo 4

Sobrou apenas
\iiint_{E}4\,dV =4\;\text{Vol}(E).

Passo 5

O volume de E é o de um cilindro de raio 2 e altura 4. Logo,
\text{Vol}(E)=\pi\,(2)^{2}\times4=16\pi.

Passo 6

Portanto
4\times16\pi=64\pi.

Resposta

64\pi

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