Questão 25. A área de uma superfície com equação z=f(x, y), \operatorname{com}(x, y) \in D, onde f_{x} e f_{y} são contínuas, é
A(D)=\iint_{D} \sqrt{1+\left[f_{x}(x, y)\right]^{2}+\left[f_{y}(x, y)\right]^{2}} d A
Use isto para encontrar a área de cada superfície dada.
A parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=a x e acima do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=a\,x e acima do plano z=0. O conteúdo é a fórmula de área de superfície em coordenadas cartesianas:
A(D)=\iint_{D} \sqrt{1+\bigl[f_{x}(x,y)\bigr]^{2}+\bigl[f_{y}(x,y)\bigr]^{2}}\;dA,
onde z=f(x,y).

Passo 2

Parametrizamos pela metade superior da esfera:
z=f(x,y)=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
As derivadas parciais são
f_{x}(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}, \quad f_{y}(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}.

Passo 3

No integrando surge
\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}} =\sqrt{1+\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} =\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}-x^{2}-y^{2}}} =\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}.

Passo 4

A projeção D no plano xy é o interior do cilindro x^{2}+y^{2}=a\,x, ou seja, em coordenadas polares r\le a\cos\theta e -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}. Também usamos dA=r\,dr\,d\theta e \sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}=\sqrt{a^{2}-r^{2}}.

Passo 5

Montamos a integral
A =\iint_{D}\frac{a}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}\;r\,dr\,d\theta =a\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{a\cos\theta} \frac{r}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Fazendo u=a^{2}-r^{2}, du=-2r\,dr, obtemos
\int_{0}^{a\cos\theta}\frac{r}{\sqrt{a^{2}-r^{2}}}\,dr =\Bigl[a-\;a\,\bigl|\sin\theta\bigr|\Bigr].
Logo
A =a\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \bigl[a - a\,|\sin\theta|\bigr]\,d\theta =a^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(1-|\sin\theta|\bigr)\,d\theta.

Passo 7

Como
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}1\,d\theta=\pi, \quad \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin\theta|\,d\theta =2,
segue
A =a^{2}\bigl(\pi-2\bigr).

Resposta

A área pedida é A=a^{2}(\pi-2).

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