Questão 28. Em cada item, verifique se B \subset A é um ideal (esquerda ou a direita) do anel A.
B=\{\overline{0}, \overline{2}\} e A=\mathbb{Z}_{4};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \,B=\{\overline{0},\overline{2}\}\subset A é um ideal (esquerdo ou direito) do anel A=\mathbb{Z}_{4}.
Para isso, precisamos checar duas coisas:
  1. Que B é subgrupo aditivo de A.
  2. Que para todo \overline{a}\in A e todo \overline{b}\in B, temos \overline{a}\cdot\overline{b}\in B e \overline{b}\cdot\overline{a}\in B.

Passo 2

Verificando que B é subgrupo aditivo de A:
– O elemento neutro \overline{0} de \mathbb{Z}_{4} está em B.
– Soma e inverso em B:
\overline{2} + \overline{2} = \overline{4} = \overline{0}\in B,
e o inverso aditivo de \overline{2} em \mathbb{Z}_{4} é \overline{2}, que também pertence a B.
Portanto B é fechado em adição e contém inversos, logo é subgrupo aditivo.

Passo 3

Verificando a absorção pela multiplicação (esquerda e direita):
Como \mathbb{Z}_{4} é comutativo, basta checar \overline{a}\cdot\overline{2}\in B para todo \overline{a}\in\mathbb{Z}_{4}. Temos os casos:
\overline{0}\cdot\overline{2}=\overline{0},\quad \overline{1}\cdot\overline{2}=\overline{2},\quad \overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{4}=\overline{0},\quad \overline{3}\cdot\overline{2}=\overline{6}=\overline{2}.
Em todos os casos o produto está em B.

Passo 4

Como B é subgrupo aditivo de A e é fechado sob multiplicação por qualquer elemento de A, concluímos que B é ideal (esquerdo, direito e portanto bilateral) de \mathbb{Z}_{4}.

Resposta

B=\{\overline{0},\overline{2}\} é um ideal de \mathbb{Z}_{4}.

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