Questão 28. Em cada item, verifique se
é um ideal (esquerda ou a direita) do anel
.
e
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um ideal (esquerdo ou direito) do anel
.
Para isso, precisamos checar duas coisas:
Para isso, precisamos checar duas coisas:
- Que
é subgrupo aditivo de . - Que para todo
e todo , temos e .
Passo 2
Verificando que
é subgrupo aditivo de
:
– O elemento neutro de
está em
.
– Soma e inverso em :
– O elemento neutro
– Soma e inverso em
e o inverso aditivo de
em
é
, que também pertence a
.
Portanto é fechado em adição e contém inversos, logo é subgrupo aditivo.
Portanto
Passo 3
Verificando a absorção pela multiplicação (esquerda e direita):
Como é comutativo, basta checar
para todo
. Temos os casos:
Como
Em todos os casos o produto está em
.
Passo 4
Como
é subgrupo aditivo de
e é fechado sob multiplicação por qualquer elemento de
, concluímos que
é ideal (esquerdo, direito e portanto bilateral) de
.