Questão 27. Sejam A um anel e S um subconjunto de A.
a) Mostre que o conjunto
\operatorname{Ann}_{A}(S)=\{a \in A \mid a s=0, \forall s \in S\}
é um subanel de A, chamado o anulador (à esquerda) de S em A.
b) Mostre que se S_{1} e S_{2} são subconjuntos de A com S_{1} \subseteq S_{2}, então \operatorname{Ann}_{A}\left(S_{2}\right) \subseteq \operatorname{Ann}_{A}\left(S_{1}\right).
c) Se A=M_{2}(\mathbb{R}) e
S=\left\{\left.\left[\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \in A \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado trabalha com um anel A e um subconjunto S\subseteq A. Define-se o anulador
\operatorname{Ann}_{A}(S)=\{a\in A\mid a\,s=0\text{ para todo }s\in S\}.
Queremos mostrar que \operatorname{Ann}_{A}(S) é subanel de A (item a), que é monotônico em S (item b) e, no caso concreto A=M_{2}(\mathbb{R}) e
S=\Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\Bigr\},
calcular explicitamente \operatorname{Ann}_{A}(S) (item c). Vamos usar definição de subanel (fechamento para soma, inverso aditivo e produto) e a própria definição de anulador.

Passo 2

Para ver que \operatorname{Ann}_{A}(S) é subanel de A, precisamos checar três pontos:
  1. Zer0 está em \operatorname{Ann}_{A}(S) porque \,0\cdot s=0 para todo s\in S.
  2. Se a,b\in \operatorname{Ann}_{A}(S), então para todo s\in S temos
(a-b)\,s = a\,s - b\,s = 0 - 0 = 0,
logo a-b\in\operatorname{Ann}_{A}(S). Isso garante fechamento em soma e inverso aditivo.
3. Se a,b\in \operatorname{Ann}_{A}(S), então para todo s\in S
(ab)\,s = a\,(b\,s) = a\cdot 0 = 0,
logo ab\in\operatorname{Ann}_{A}(S).
Portanto \operatorname{Ann}_{A}(S) é subanel de A.

Passo 3

Suponha S_{1}\subseteq S_{2}. Se a\in \operatorname{Ann}_{A}(S_{2}), então a\,s=0 para todo s\in S_{2}. Como S_{1}\subseteq S_{2}, essa igualdade vale também para todo s\in S_{1}. Logo
a\in \operatorname{Ann}_{A}(S_{1}),
e consequentemente
\operatorname{Ann}_{A}(S_{2})\subseteq \operatorname{Ann}_{A}(S_{1}).

Passo 4

Agora tome A=M_{2}(\mathbb{R}) e
S=\Bigl\{\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & 0\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\Bigr\}.
Seja
X=\begin{pmatrix}x & y\\\ z & w\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}).
Queremos X\,S=0. Para \begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in S
X\begin{pmatrix}a & b\\\ 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\,a + y\cdot 0 & x\,b + y\cdot 0\\[6pt] z\,a + w\cdot 0 & z\,b + w\cdot 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x\,a & x\,b\z\,a & z\,b\end{pmatrix}.
Para isso ser a matriz zero para todo a,b\in\mathbb{R}, é necessário x=0 e z=0. Não há restrição em y,w. Logo
\operatorname{Ann}_{A}(S) =\Bigl\{\begin{pmatrix}0 & y\\\ 0 & w\end{pmatrix}:y,w\in\mathbb{R}\Bigr\}.]

Resposta

\displaystyle \operatorname{Ann}_{A}(S)=\Bigl\{\begin{pmatrix}0 & y\\\ 0 & w\end{pmatrix}:y,w\in\mathbb{R}\Bigr\}.

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