Questão 28. Em cada item, verifique se B \subset A é um ideal (esquerda ou a direita) do anel A.
B=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ 0 & 0\end{array}\right): a, b \in \mathbb{R}\right\} e A=M_{2}(\mathbb{R}) ;

Passo 1

O enunciado trabalha com o anel A=M_2(\mathbb{R}) (todas as matrizes 2\times2 reais) e o subconjunto
B = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} : a,b\in\mathbb{R}\right\}.
A tarefa é verificar se B é um ideal à esquerda, um ideal à direita ou nenhum dos dois. Para isso, vamos usar a definição de ideal em anel:
B é ideal à esquerda se, para todo X\in A e todo Y\in B, tivermos X Y\in B.
B é ideal à direita se, para todo Y\in B e todo X\in A, tivermos Y X\in B.
Antes disso, observamos que B é subgrupo aditivo de A, pois soma e inverso de matrizes com segunda linha zero continuam com segunda linha zero.

Passo 2

Verificação do ideal à esquerda: seja
X = \begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}\in A, \quad Y = \begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in B.
Então o produto
X\,Y = \begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p\,a + q\cdot 0 & p\,b + q\cdot 0\\\ r\,a + s\cdot 0 & r\,b + s\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p\,a & p\,b\\\ r\,a & r\,b\end{pmatrix}.
Repare que a segunda linha de X\,Y é \bigl(r\,a,\;r\,b\bigr), que em geral não é (0,0). Logo, X\,Y\notin B para muitas escolhas de X. Portanto, B não é ideal à esquerda.

Passo 3

Verificação do ideal à direita: seja agora
Y = \begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in B, \quad X = \begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}\in A.
Então
Y\,X = \begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\,p + b\,r & a\,q + b\,s\\\\ 0\cdot p + 0\cdot r & 0\cdot q + 0\cdot s\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\,p + b\,r & a\,q + b\,s\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a segunda linha de Y\,X permanece (0,0), exatamente o formato exigido para pertencer a B. Como isso vale para todo Y\in B e todo X\in A, concluímos que B é ideal à direita.

Passo 4

Recapitulando:
  • B não satisfaz fechamento de X\,Y em B para todo X\in A, Y\in B; portanto não é ideal à esquerda.
  • B satisfaz fechamento de Y\,X em B para todo Y\in B, X\in A; portanto é ideal à direita.

Resposta

B não é ideal à esquerda em A, mas é ideal à direita em A.

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