Questão 28. Em cada item, verifique se B \subset A é um ideal (esquerda ou a direita) do anel A. B=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ 0 & 0\end{array}\right): a, b \in \mathbb{R}\right\} e A=M_{2}(\mathbb{R}) ;
Passo 1
O enunciado trabalha com o anel A=M_2(\mathbb{R}) (todas as matrizes 2\times2 reais) e o subconjunto
B = \left\{\begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} : a,b\in\mathbb{R}\right\}.
A tarefa é verificar se B é um ideal à esquerda, um ideal à direita ou nenhum dos dois. Para isso, vamos usar a definição de ideal em anel:
– B é ideal à esquerda se, para todo X\in A e todo Y\in B, tivermos X Y\in B.
– B é ideal à direita se, para todo Y\in B e todo X\in A, tivermos Y X\in B.
Antes disso, observamos que B é subgrupo aditivo de A, pois soma e inverso de matrizes com segunda linha zero continuam com segunda linha zero.
Passo 2
Verificação do ideal à esquerda: seja
X = \begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}\in A, \quad Y = \begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in B.
Repare que a segunda linha de X\,Y é \bigl(r\,a,\;r\,b\bigr), que em geral não é (0,0). Logo, X\,Y\notin B para muitas escolhas de X. Portanto, Bnão é ideal à esquerda.
Passo 3
Verificação do ideal à direita: seja agora
Y = \begin{pmatrix}a & b\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in B, \quad X = \begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}\in A.
Aqui a segunda linha de Y\,X permanece (0,0), exatamente o formato exigido para pertencer a B. Como isso vale para todo Y\in B e todo X\in A, concluímos que B é ideal à direita.
Passo 4
Recapitulando:
B não satisfaz fechamento de X\,Y em B para todo X\in A, Y\in B; portanto não é ideal à esquerda.
B satisfaz fechamento de Y\,X em B para todo Y\in B, X\in A; portanto é ideal à direita.
Resposta
B não é ideal à esquerda em A, mas é ideal à direita em A.