Questão 28. Em cada item, verifique se B \subset A é um ideal (esquerda ou a direita) do anel A.
B=(n) \times(m), com n, m \in \mathbb{Z}_{+}e A=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z};

Passo 1

O enunciado define o anel
A = \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}
com operações componente a componente, e o subconjunto
B = (n)\times(m)=n\mathbb{Z}\;\times\;m\mathbb{Z},
onde n,m\in\mathbb{Z}_{+}. Precisamos verificar se B é um ideal (esquerdo, direito e, por consequência, bilateral) de A.

Passo 2

Lembrando a definição, um subconjunto B\subseteq A é um ideal bilateral se, e somente se,
  1. B é subgrupo aditivo de A;
  2. para todo r\in A e todo b\in B vale r\cdot b\in B e b\cdot r\in B.
    Como A é comutativo, basta verificar uma das duas multiplicações.

Passo 3

Mostramos que B é subgrupo aditivo. De fato, como n\mathbb{Z} e m\mathbb{Z} são subgrupos de \mathbb{Z}, o produto direto
n\mathbb{Z}\times m\mathbb{Z}
é subgrupo de \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. Logo, B é fechado sob soma e inverso aditivo.

Passo 4

Agora, tome um elemento genérico (a,b)\in A e um (x,y)\in B. Então x\in n\mathbb{Z} e y\in m\mathbb{Z}. A multiplicação em A é
(a,b)\cdot(x,y) = (a\,x,\;b\,y).
Como x=nk para algum k\in\mathbb{Z}, segue a\,x = a\,(n k) = n\,(a k)\in n\mathbb{Z}. De modo análogo b\,y\in m\mathbb{Z}. Logo
(a,b)\cdot(x,y)\in n\mathbb{Z}\times m\mathbb{Z} = B.
A comutatividade de A garante também (x,y)\cdot(a,b)\in B.

Passo 5

Concluímos que B satisfaz ambas as condições de ideal bilateral em A.

Resposta

B=(n)\times(m) é ideal bilateral (logo ideal à esquerda e à direita) de A=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}.

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