Questão 28. Em cada item, verifique se
é um ideal (esquerda ou a direita) do anel
.
, com
e
;
Passo 1
O enunciado define o anel
com operações componente a componente, e o subconjunto
onde
. Precisamos verificar se
é um ideal (esquerdo, direito e, por consequência, bilateral) de
.
Passo 2
Lembrando a definição, um subconjunto
é um ideal bilateral se, e somente se,
-
é subgrupo aditivo de ; - para todo
e todo vale e .
Comoé comutativo, basta verificar uma das duas multiplicações.
Passo 3
Mostramos que
é subgrupo aditivo. De fato, como
e
são subgrupos de
, o produto direto
é subgrupo de
. Logo,
é fechado sob soma e inverso aditivo.
Passo 4
Agora, tome um elemento genérico
e um
. Então
e
. A multiplicação em
é
Como
para algum
, segue
. De modo análogo
. Logo
A comutatividade de
garante também
.
Passo 5
Concluímos que
satisfaz ambas as condições de ideal bilateral em
.