Questão 28. Em cada item, verifique se B \subset A é um ideal (esquerda ou a direita) do anel A. B=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & 0 \\\\ 0 & b\end{array}\right): a, b \in \mathbb{R}\right\} e A=M_{2}(\mathbb{R}) ;
Passo 1
O enunciado diz que
A = M_{2}(\mathbb{R}), \quad B = \left\{\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&b\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\}.
Queremos ver se B é ideal à esquerda (isto é, para todo X\in A e todo D\in B, temos X D\in B) ou ideal à direita (para todo D\in B e todo X\in A, temos D X\in B). Usaremos a definição de ideal lateral e um contra-exemplo simples com a matriz identidade.
Passo 2
Note que a identidade
I = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}
pertence a B (caso a=b=1). Se B fosse ideal à esquerda, então para todo M\in A teríamos
M\,I = M \;\in B.
Mas existem matrizes M\in A que não são diagonais (por exemplo \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}), logo não estão em B. Portanto B não é ideal à esquerda.
Passo 3
De modo análogo, para ideal à direita usaríamos
I\,M = M,
e novamente algumas M\in A não são diagonais, logo não pertencem a B. Assim B não é ideal à direita.
Resposta
B não é nem ideal à esquerda nem ideal à direita de A.