Questão 32. Sejam
um anel comutativo com identidade e
um ideal de
. Definimos o radical de
por
Mostre que
i.
é um ideal de
. Quando
, dizemos que
é um ideal radical.
ii.
.
iii.
.
iv.
.
v. Se
é um ideal de
, então
.
vi. Se
é um ideal primo e
, então
.
i.
ii.
iii.
iv.
v. Se
vi. Se
Passo 1
O enunciado trabalha num anel comutativo com identidade
e num ideal
. Define-se o radical de
por
Precisamos mostrar as propriedades i a vi, que são resultados padrão sobre radicais de ideais.
Passo 2
Prova de i:
é ideal.
- Fechamento sob soma e inverso aditivo: se
, então existem tais que e . Considere
Para cada termo, ou
(logo
) ou
(logo
). Como
é ideal, cada parcela está em
, então
, ou seja,
. E
mostra que
.
2) Fechamento sob multiplicação por elemento de : seja
e
com
. Então
2) Fechamento sob multiplicação por elemento de
logo
. Assim
é ideal. Quando
dizemos que
é radical.
Passo 3
Prova de ii:
.
Se , então
, logo
.
Se
Passo 4
Prova de iii:
.
- Como
é ideal, do item ii segue . - Se
, existe tal que ; mas então há com , implicando .
Logo as inclusões se fecham em igualdade.
Passo 5
Prova de iv:
.
“ ”: Se
qualquer
satisfaz
, logo
.
“ ”: Se
então
, existe
com
, portanto
.
“
“
Passo 6
Prova de v:
.
-
implica . -
e dão . - Se
, existem com e . Então
logo
. Todas as inclusões fecham as igualdades.
Passo 7
Prova de vi: Se
é primo e
, então
.
- Se
então , logo , dando . - Se
, existe com . Como é primo e implica , segue .
Assim.
Resposta
As propriedades i a vi foram todas demonstradas.