Questão 28 (ITA-08) Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n tais que \operatorname{det}\left(I_{n}+B^{-1} A\right)=\frac{1}{3} e \operatorname{det}(A)=5. Sabendo que M=3\left(A^{-1}+B^{-1}\right)^{t}, calcule \operatorname{det}(M).

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes invertíveis de ordem n e que
\det\bigl(I_{n}+B^{-1}A\bigr)=\frac{1}{3}, \quad \det(A)=5.
Temos que calcular \det(M) onde
M = 3\bigl(A^{-1}+B^{-1}\bigr)^{t}.
O que vamos usar:
\det(cX)=c^{n}\det(X) para X de ordem n e escalar c.
\det(X^{t})=\det(X).
\det(A^{-1})=1/\det(A).
\det(I+XY)=\det(I+YX).

Passo 2

Usando \det(cX)=c^{n}\det(X) e \det(X^{t})=\det(X), temos
\det(M) =\det\bigl(3(A^{-1}+B^{-1})^{t}\bigr) =3^{n}\,\det\bigl((A^{-1}+B^{-1})^{t}\bigr) =3^{n}\,\det\bigl(A^{-1}+B^{-1}\bigr).

Passo 3

Fatoramos
A^{-1}+B^{-1} = A^{-1}\,\bigl(I + A\,B^{-1}\bigr),
portanto
\det\bigl(A^{-1}+B^{-1}\bigr) =\det(A^{-1})\;\det\bigl(I + A\,B^{-1}\bigr) =\frac{1}{\det(A)}\;\det\bigl(I + A\,B^{-1}\bigr).

Passo 4

Pela propriedade \det(I+XY)=\det(I+YX) com X=A, Y=B^{-1}, segue
\det\bigl(I + A\,B^{-1}\bigr) =\det\bigl(I + B^{-1}A\bigr) =\frac{1}{3}.
Como \det(A)=5, obtemos
\det\bigl(A^{-1}+B^{-1}\bigr) =\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{15}.

Passo 5

Finalmente
\det(M) =3^{n}\;\det\bigl(A^{-1}+B^{-1}\bigr) =3^{n}\;\frac{1}{15} =\frac{3^{n}}{15}.

Resposta

\displaystyle \det(M)=\frac{3^{n}}{15}.

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