Questão 28 Seja
uma coleção de intervalos abertos de
, não vazios tais que
Mostre que o conjunto
é enumerável.
Passo 1
O enunciado dá uma coleção de intervalos abertos não vazios
tais que
A pergunta é: mostrar que o conjunto de índices
(ou, equivalentemente, a coleção
) é enumerável, isto é, finito ou numerável (tem pelo mais contáveis elementos).
Informações relevantes dadas:
- Cada
é um intervalo aberto não vazio (logo ). - Os intervalos são mutuamente disjuntos (dois diferentes não se intersectam).
- Nenhuma outra informação adicional foi dada.
Passo 2
Plano de ataque (breve e intuitivo): a ideia é usar que os racionais
são densos em
(entre quaisquer
há um racional). Assim, em cada intervalo
posso escolher um racional
. Como os intervalos são disjuntos, os racionais escolhidos são todos distintos. Isso dá uma injeção de
em
. Como
é enumerável, qualquer subconjunto (imagem da injeção) também é enumerável, logo
é enumerável. Vou agora provar com calma a propriedade que preciso (existência de racionais em qualquer intervalo aberto) e depois formalizar a injeção e a conclusão.
Passo 3
Teorema auxiliar (densidade dos racionais) e prova elementar: para quaisquer
com
existe
tal que
.
Prova (construtiva, usando a propriedade arquimediana):
- Como
, existe tal que
(Isto vem da propriedade arquimediana: para todo
existe
com
.)
- Considere
. Tome , onde é a parte inteira de . Então , ou seja . - Dividindo por
obtemos
- Além disso,
Pelo escolha de
temos
, logo
- Portanto
. Como , provamos a existência de um racional entre e .
Resumo: para todo intervalo aberto não vazio
existe pelo menos um racional
com
.
Passo 4
Construção da função injetora: para cada índice
aplico o resultado do passo anterior ao intervalo
(que é não vazio), e escolho um racional
Defino a função
Esta definição é válida porque para cada
existe pelo menos um racional no correspondente intervalo.
Passo 5
Verificação de que
é injetora: suponha que
e
. Como os intervalos são disjuntos, tem-se
Mas por construção
e
. Se por absurdo
então esse ponto comum pertenceria à interseção dos intervalos, contradizendo que são disjuntos. Logo necessariamente
. Portanto
sempre que
, isto é,
é injetora.
Passo 6
Conclusão sobre enumerabilidade: a existência de uma injeção
implica
. Sabendo que o conjunto dos racionais
é enumerável (conhecido: existe uma enumeração dos racionais, logo
é finito ou numerável infinito — na prática é numerável infinito), segue que
é no máximo enumerável. Em palavras:
é enumerável (ou seja, finito ou numerável infinito). Portanto a coleção
é enumerável.
Observação amigável: a chave foi a densidade de
e a disjunção dos intervalos, que garantiu que racionais escolhidos fossem distintos — uma técnica padrão e prática para questões desse tipo.
Resposta
O conjunto
é enumerável.