Questão 28 Seja A=\left\{\left(a_{\alpha}, b_{\alpha}\right)\right\}_{\alpha \in I} uma coleção de intervalos abertos de \mathbb{R}, não vazios tais que
\left(a_{\alpha}, b_{\alpha}\right) \cap\left(a_{\beta}, b_{\beta}\right)=\emptyset, \text { para cada } \alpha \neq \beta .
Mostre que o conjunto A é enumerável.

Passo 1

O enunciado dá uma coleção de intervalos abertos não vazios
\{(a_{\alpha},b_{\alpha})\}_{\alpha\in I} tais que
(a_{\alpha},b_{\alpha})\cap (a_{\beta},b_{\beta})=\emptyset \quad\text{para }\alpha\neq\beta.
A pergunta é: mostrar que o conjunto de índices I (ou, equivalentemente, a coleção A=\{(a_{\alpha},b_{\alpha})\}_{\alpha\in I}) é enumerável, isto é, finito ou numerável (tem pelo mais contáveis elementos).
Informações relevantes dadas:
  • Cada (a_{\alpha},b_{\alpha}) é um intervalo aberto não vazio (logo a_{\alpha}<b_{\alpha}).
  • Os intervalos são mutuamente disjuntos (dois diferentes não se intersectam).
  • Nenhuma outra informação adicional foi dada.

Passo 2

Plano de ataque (breve e intuitivo): a ideia é usar que os racionais \mathbb{Q} são densos em \mathbb{R} (entre quaisquer a<b há um racional). Assim, em cada intervalo (a_{\alpha},b_{\alpha}) posso escolher um racional q_{\alpha}. Como os intervalos são disjuntos, os racionais escolhidos são todos distintos. Isso dá uma injeção de I em \mathbb{Q}. Como \mathbb{Q} é enumerável, qualquer subconjunto (imagem da injeção) também é enumerável, logo I é enumerável. Vou agora provar com calma a propriedade que preciso (existência de racionais em qualquer intervalo aberto) e depois formalizar a injeção e a conclusão.

Passo 3

Teorema auxiliar (densidade dos racionais) e prova elementar: para quaisquer a,b\in\mathbb{R} com a<b existe q\in\mathbb{Q} tal que a<q<b.
Prova (construtiva, usando a propriedade arquimediana):
  • Como b-a>0, existe n\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{n}<b-a.
(Isto vem da propriedade arquimediana: para todo \varepsilon>0 existe n com 1/n<\varepsilon.)
  • Considere an. Tome m=\lfloor an\rfloor+1, onde \lfloor an\rfloor é a parte inteira de an. Então m-1\le an<m, ou seja m>an.
  • Dividindo por n obtemos
\frac{m}{n}>a.
  • Além disso,
\frac{m}{n}=\frac{\lfloor an\rfloor+1}{n}\le\frac{an}{n}+\frac{1}{n}=a+\frac{1}{n}.
Pelo escolha de n temos \dfrac{1}{n}<b-a, logo
\frac{m}{n}<a+(b-a)=b.
  • Portanto a<\dfrac{m}{n}<b. Como \dfrac{m}{n}\in\mathbb{Q}, provamos a existência de um racional entre a e b.
Resumo: para todo intervalo aberto não vazio (a,b) existe pelo menos um racional q\in\mathbb{Q} com a<q<b.

Passo 4

Construção da função injetora: para cada índice \alpha\in I aplico o resultado do passo anterior ao intervalo (a_{\alpha},b_{\alpha}) (que é não vazio), e escolho um racional
q_{\alpha}\in\mathbb{Q}\quad\text{tal que}\quad a_{\alpha}<q_{\alpha}<b_{\alpha}.
Defino a função
f:I\to\mathbb{Q},\qquad f(\alpha)=q_{\alpha}.
Esta definição é válida porque para cada \alpha existe pelo menos um racional no correspondente intervalo.

Passo 5

Verificação de que f é injetora: suponha que \alpha,\beta\in I e \alpha\neq\beta. Como os intervalos são disjuntos, tem-se
(a_{\alpha},b_{\alpha})\cap (a_{\beta},b_{\beta})=\emptyset.
Mas por construção q_{\alpha}\in(a_{\alpha},b_{\alpha}) e q_{\beta}\in(a_{\beta},b_{\beta}). Se por absurdo q_{\alpha}=q_{\beta} então esse ponto comum pertenceria à interseção dos intervalos, contradizendo que são disjuntos. Logo necessariamente q_{\alpha}\neq q_{\beta}. Portanto f(\alpha)\neq f(\beta) sempre que \alpha\neq\beta, isto é, f é injetora.

Passo 6

Conclusão sobre enumerabilidade: a existência de uma injeção f:I\to\mathbb{Q} implica |I|\le |\mathbb{Q}|. Sabendo que o conjunto dos racionais \mathbb{Q} é enumerável (conhecido: existe uma enumeração dos racionais, logo \mathbb{Q} é finito ou numerável infinito — na prática é numerável infinito), segue que I é no máximo enumerável. Em palavras: I é enumerável (ou seja, finito ou numerável infinito). Portanto a coleção A=\{(a_{\alpha},b_{\alpha})\}_{\alpha\in I} é enumerável.
Observação amigável: a chave foi a densidade de \mathbb{Q} e a disjunção dos intervalos, que garantiu que racionais escolhidos fossem distintos — uma técnica padrão e prática para questões desse tipo.

Resposta

O conjunto A é enumerável.

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