Questão 24 Se
é um conjunto enumerável, mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um conjunto enumerável. -
é fixo. - Define-se
O que o problema pede: mostrar que
é enumerável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa “enumerável” de forma didática (sem pular etapas).
- Um conjunto é chamado enumerável quando ele é finito ou tem contagem infinita correspondendo aos naturais; mais formalmente, é enumerável se existe uma bijeção entre ele e um subconjunto de
. - Em termos práticos: se
é enumerável, então ou tem número finito de elementos, ou existe uma sequência que lista todos os elementos distintos de (cada elemento aparece em alguma posição dessa sequência).
Exemplo simples:é enumerável porque já é a lista . O conjunto dos inteiros também é enumerável (pode-se montar uma sequência que percorre todos os inteiros). A ideia-chave: mostrar uma bijeção ou uma enumeração explícita é uma forma direta de provar enumerabilidade.
Passo 3
Tratar o caso especial
. Se
, então por definição
O conjunto
tem um único elemento, portanto é finito e, por isso, enumerável. Logo, o resultado vale quando
.
Passo 4
Agora suponha
. Vou construir uma função natural entre
e
e mostrar que é bijetora, o que garante que os dois conjuntos têm a mesma cardinalidade (portanto
também é enumerável).
Defina
por
para todo
.
- Surjetividade: por construção de
, para qualquer existe tal que ; logo . Portanto é sobrejetora (atinge todo ). - Injetividade: se
então . Como , podemos dividir por e obter . Assim é injetora.
Sendo
injetora e sobrejetora,
é bijeção entre
e
. Uma bijeção preserva enumerabilidade: se
é enumerável então
, que é em bijeção com
, também é enumerável.
Passo 5
Uma maneira alternativa, mais construtiva, que pode ajudar na prova em prova oral ou na resolução rápida: como
é enumerável, escreva seus elementos como uma sequência (no caso infinito)
que lista todos os elementos de
. Então a sequência
lista todos os elementos de
. Para
essa lista não repete elementos (porque se
então
), e para
já temos o caso trivial listado no Passo 3. Assim
também é enumerável por construção de uma enumeração.
Passo 6
Conclusão e nota final: nos dois casos (
e
) mostrou-se que
é enumerável. A ideia principal usada foi que multiplicação por um escalar não nulo define uma bijeção entre
e
, e bijeções preservam enumerabilidade; para
o conjunto imagem é finito.