Questão 24 Se X \subset \mathbb{R} é um conjunto enumerável, mostre que
X_{3}={c \cdot x ; x \in X}, \text { onde } c \in \mathbb{Q} \text { é fixo, é enumerável. }ééá

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • X\subset\mathbb{R} é um conjunto enumerável.
  • c\in\mathbb{Q} é fixo.
  • Define-se \,X_{3}=\{c\cdot x \;|\; x\in X\}.
O que o problema pede: mostrar que \,X_{3} é enumerável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “enumerável” de forma didática (sem pular etapas).
  • Um conjunto é chamado enumerável quando ele é finito ou tem contagem infinita correspondendo aos naturais; mais formalmente, é enumerável se existe uma bijeção entre ele e um subconjunto de \mathbb{N}.
  • Em termos práticos: se X é enumerável, então ou X tem número finito de elementos, ou existe uma sequência (x_{1},x_{2},x_{3},\dots) que lista todos os elementos distintos de X (cada elemento aparece em alguma posição dessa sequência).
    Exemplo simples: \mathbb{N} é enumerável porque já é a lista 1,2,3,\dots. O conjunto dos inteiros \mathbb{Z} também é enumerável (pode-se montar uma sequência que percorre todos os inteiros). A ideia-chave: mostrar uma bijeção ou uma enumeração explícita é uma forma direta de provar enumerabilidade.

Passo 3

Tratar o caso especial c=0. Se c=0, então por definição
X_{3}=\{0\cdot x : x\in X\}=\{0\}.
O conjunto \{0\} tem um único elemento, portanto é finito e, por isso, enumerável. Logo, o resultado vale quando c=0.

Passo 4

Agora suponha c\neq 0. Vou construir uma função natural entre X e X_{3} e mostrar que é bijetora, o que garante que os dois conjuntos têm a mesma cardinalidade (portanto X_{3} também é enumerável).
Defina f\colon X\to X_{3} por f(x)=c\cdot x para todo x\in X.
  • Surjetividade: por construção de X_{3}, para qualquer y\in X_{3} existe x\in X tal que y=c\cdot x; logo y=f(x). Portanto f é sobrejetora (atinge todo X_{3}).
  • Injetividade: se f(x_{1})=f(x_{2}) então c\cdot x_{1}=c\cdot x_{2}. Como c\neq 0, podemos dividir por c e obter x_{1}=x_{2}. Assim f é injetora.
Sendo f injetora e sobrejetora, f é bijeção entre X e X_{3}. Uma bijeção preserva enumerabilidade: se X é enumerável então X_{3}, que é em bijeção com X, também é enumerável.

Passo 5

Uma maneira alternativa, mais construtiva, que pode ajudar na prova em prova oral ou na resolução rápida: como X é enumerável, escreva seus elementos como uma sequência (no caso infinito) (x_{1},x_{2},x_{3},\dots) que lista todos os elementos de X. Então a sequência (c x_{1},c x_{2},c x_{3},\dots) lista todos os elementos de X_{3}. Para c\neq 0 essa lista não repete elementos (porque se c x_{i}=c x_{j} então x_{i}=x_{j}), e para c=0 já temos o caso trivial listado no Passo 3. Assim X_{3} também é enumerável por construção de uma enumeração.

Passo 6

Conclusão e nota final: nos dois casos ( c=0 e c\neq 0) mostrou-se que X_{3} é enumerável. A ideia principal usada foi que multiplicação por um escalar não nulo define uma bijeção entre X e X_{3}, e bijeções preservam enumerabilidade; para c=0 o conjunto imagem é finito.

Resposta

X_{3} é enumerável.

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