Questão 29. Utilize coordenadas cilíndricas para resolver cada item abaixo.
Calcule \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, em que E é a região que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 \mathrm{e} entre os planos z=-5 e z=4

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dV
onde E é o cilindro de raio 4 (pois x^{2}+y^{2}=16) e altura entre z=-5 e z=4. Vamos usar coordenadas cilíndricas, em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z, e o elemento de volume vale dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r
e
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Portanto o integrando fica r\cdot r = r^{2}.

Passo 3

Os limites são \theta\in[0,2\pi], r\in[0,4] e z\in[-5,4]. Montamos a integral:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\int_{-5}^{4}r^{2}\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{-5}^{4}r^{2}\;dz = r^{2}\,(4 - (-5)) = 9\,r^{2}.

Passo 5

Agora em r:
\int_{0}^{4}9\,r^{2}\;dr = 9\cdot\frac{r^{3}}{3}\Bigg|_{0}^{4} = 3\cdot 4^{3} = 192.

Passo 6

Por fim em \theta:
\int_{0}^{2\pi}192\;d\theta = 192\cdot 2\pi = 384\pi.

Resposta

A integral vale 384\pi.

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