Questão 29. Utilize coordenadas cilíndricas para resolver cada item abaixo.
Calcule \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, em que E é a região que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 \mathrm{e} entre os planos z=-5 e z=4
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dV
onde E é o cilindro de raio 4 (pois x^{2}+y^{2}=16) e altura entre z=-5 e z=4. Vamos usar coordenadas cilíndricas, em que x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z, e o elemento de volume vale dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = r
e
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Portanto o integrando fica r\cdot r = r^{2}.
Passo 3
Os limites são \theta\in[0,2\pi], r\in[0,4] e z\in[-5,4]. Montamos a integral: