Questão 29. Utilize coordenadas cilíndricas para resolver cada item abaixo.
Calcule \iiint_{E} x d V, em que E é limitado pelos planos z=0 e z=x+y+5 e pelos cilindros
x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo
\iiint_{E} x\,dV
onde E é a região em \mathbb{R}^3 limitada por
  1. os planos z=0 e z=x+y+5,
  2. os cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9.
    O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas, onde
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
o jacobiano do troca é r, logo
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 3

Os limites da região E em coordenadas cilíndricas são
2 \le r \le 3, \qquad 0 \le \theta \le 2\pi, \qquad 0 \le z \le x+y+5 = r(\cos\theta+\sin\theta)+5.

Passo 4

Substituindo tudo no integral
\iiint_{E} x\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=2}^{3}\int_{z=0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)+5} \bigl(r\cos\theta\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3}r^{2}\cos\theta \Bigl[\int_{0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)+5}dz\Bigr]dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{r(\cos\theta+\sin\theta)+5}dz =r(\cos\theta+\sin\theta)+5.
Logo o integral vira
\int_{0}^{2\pi}\int_{2}^{3} r^{2}\cos\theta\bigl[r(\cos\theta+\sin\theta)+5\bigr]dr\,d\theta.

Passo 6

Distribuindo e separando as integrais em r e em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta \Bigl[ \int_{2}^{3}r^{3}(\cos\theta+\sin\theta)\,dr +5\int_{2}^{3}r^{2}dr \Bigr]d\theta.
Calcule as integrais em r:
\int_{2}^{3}r^{3}dr=\frac{3^{4}-2^{4}}{4}=\frac{65}{4}, \qquad \int_{2}^{3}r^{2}dr=\frac{3^{3}-2^{3}}{3}=\frac{19}{3}.

Passo 7

Portanto o integral é
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta \Bigl[\tfrac{65}{4}(\cos\theta+\sin\theta)+5\cdot\tfrac{19}{3}\Bigr]d\theta.
Separe termos:
\tfrac{65}{4}\int_{0}^{2\pi}(\cos^{2}\theta+\cos\theta\sin\theta)\,d\theta +5\cdot\tfrac{19}{3}\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta.
Sabendo que \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=0
e \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi, obtemos
\frac{65}{4}\,\pi.

Resposta

\iiint_{E}x\,dV = \frac{65\pi}{4}.

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