a) (1,50) Sejam, em relação a um sistema de coordenadas \Sigma_{1}=\left(O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right) em E^{2}, P=(1,2), r: x-2 y-1=0. Obtenha as coordenadas de P e uma equação de r no sistema \Sigma_{2}, obtido por uma rotação de \pi / 6 radianos.
b) (1,50) Faça uma translação em E_{2} de modo que a reta r: x+3 y-2=0 passe pela(nova) origem, sabendo que esta tem abcissa -1.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas de transformação de coordenadas em \mathbb{E}^2:
a) rotacionar o sistema \Sigma_{1} por \theta=\pi/6 para obter um novo sistema \Sigma_{2} e, nesse sistema, achar as coordenadas de P e a equação da reta r.
b) fazer uma translação que leva a nova origem a um ponto de abcissa -1 de modo que a reta r:x+3y-2=0 passe por essa nova origem.
que converte coordenadas de \Sigma_{1} em coordenadas de \Sigma_{2}.
Para a translação, se a nova origem é O'=(x_0,y_0), as coordenadas no sistema transladado são
substituímos x=X\cos\theta - Y\sin\theta e y=X\sin\theta+Y\cos\theta em x-2y-1=0. Após simplificar \cos\frac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}, \sin\frac{\pi}{6}=\tfrac12 obtemos
(\sqrt{3}-2)\,X\;-\;(1+2\sqrt{3})\,Y\;-\;2\;=\;0,
que é a equação de r em \Sigma_{2}.
Passo 4
Nova origem para a translação.
Queremos que O'=(x_0,y_0) tenha x_0=-1 e satisfaça a reta x+3y-2=0. Substituindo x_0=-1 na reta: