(Questão 1)[3,00]

a) (1,50) Sejam, em relação a um sistema de coordenadas \Sigma_{1}=\left(O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right) em E^{2}, P=(1,2), r: x-2 y-1=0. Obtenha as coordenadas de P e uma equação de r no sistema \Sigma_{2}, obtido por uma rotação de \pi / 6 radianos.
b) (1,50) Faça uma translação em E_{2} de modo que a reta r: x+3 y-2=0 passe pela(nova) origem, sabendo que esta tem abcissa -1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas de transformação de coordenadas em \mathbb{E}^2:
a) rotacionar o sistema \Sigma_{1} por \theta=\pi/6 para obter um novo sistema \Sigma_{2} e, nesse sistema, achar as coordenadas de P e a equação da reta r.
b) fazer uma translação que leva a nova origem a um ponto de abcissa -1 de modo que a reta r:x+3y-2=0 passe por essa nova origem.
Para a rotação vamos usar a matriz
R(-\theta)= \begin{pmatrix} \cos(-\theta)&-\sin(-\theta)\\\ \sin(-\theta)&\cos(-\theta) \end{pmatrix}
que converte coordenadas de \Sigma_{1} em coordenadas de \Sigma_{2}.
Para a translação, se a nova origem é O'=(x_0,y_0), as coordenadas no sistema transladado são
(u,v)=(x-x_0,\;y-y_0).

Passo 2

Rotação de \theta=\pi/6.
A matriz R(-\pi/6) vale
R(-\tfrac{\pi}{6})= \begin{pmatrix} \cos(-\tfrac{\pi}{6})&-\sin(-\tfrac{\pi}{6})\\\ \sin(-\tfrac{\pi}{6})&\cos(-\tfrac{\pi}{6}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}&\tfrac12\\\\ -\tfrac12&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
Aplicando a P=(1,2), as coordenadas em \Sigma_{2} ficam
\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}&\tfrac12\\\\ -\tfrac12&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1+\tfrac12\cdot2\\\\ -\tfrac12\cdot1+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}+1\\\\ -\tfrac12+\sqrt{3} \end{pmatrix}.

Passo 3

Equação da reta r em \Sigma_{2}.
Em \Sigma_{1}: x-2y-1=0. Sabendo que
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = R(\tfrac{\pi}{6}) \begin{pmatrix}X\Y\end{pmatrix},
onde
R(\tfrac{\pi}{6})= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2}&-\tfrac12\\\ \tfrac12&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix},
substituímos x=X\cos\theta - Y\sin\theta e y=X\sin\theta+Y\cos\theta em x-2y-1=0. Após simplificar \cos\frac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}, \sin\frac{\pi}{6}=\tfrac12 obtemos
(\sqrt{3}-2)\,X\;-\;(1+2\sqrt{3})\,Y\;-\;2\;=\;0,
que é a equação de r em \Sigma_{2}.

Passo 4

Nova origem para a translação.
Queremos que O'=(x_0,y_0) tenha x_0=-1 e satisfaça a reta x+3y-2=0. Substituindo x_0=-1 na reta:
-1+3y_0-2=0\;\Longrightarrow\;3y_0=3\;\Longrightarrow\;y_0=1.
Logo O'=(-1,1).

Passo 5

Fórmula da translação e equação da reta no novo sistema.
A translação manda
(u,v)=(x-(-1),\,y-1)=(x+1,\;y-1).
Em (u,v) temos x=u-1, y=v+1. Substituindo em x+3y-2=0:
(u-1)+3(v+1)-2=0\;\Longrightarrow\;u+3v=0.
Isso mostra que a reta passa por (0,0) no sistema (u,v).

Resposta

a) Coordenadas de P em \Sigma_{2}:
P'=\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}+1,\,-\tfrac12+\sqrt3\Bigr).
Equação de r em \Sigma_{2}:
(\sqrt{3}-2)\,x' \;-\;(1+2\sqrt{3})\,y' \;-\;2\;=\;0.
b) Translação de vetor (-1,1), i.e.
(u,v)=(x+1,\;y-1),
que leva a reta x+3y-2=0 à equação
u+3v=0
quando escrita no novo sistema, e faz com que ela passe pela nova origem.

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