10- Traçar uma circunferência que tangencia uma reta dada num ponto conhecido e também tangencia uma circunferência dada.

Passo 1

Vamos chamar de l a reta dada, de P o ponto conhecido sobre l e de \mathcal{C} a circunferência dada de centro O e raio r. Queremos uma circunferência \Gamma que seja tangente a l em P e tangente a \mathcal{C}. O conteúdo principal é usar as condições de tangência:
  • Tangência em P a uma reta implica que o centro X de \Gamma pertence à perpendicular a l que passa por P.
  • Tangência externa a \mathcal{C} significa que
|XO| \;=\; |XP|\;+\;r.
O lugar geométrico dos pontos X que satisfazem \bigl|XO\bigr|-\bigl|XP\bigr|=r é um ramo de hipérbole com focos em O e P. Portanto, a construção reduz-se a achar a interseção dessa hipérbole com a perpendicular em P.

Passo 2

Traçar a perpendicular m a l no ponto P. Essa é a reta dos possíveis centros X de nossa circunferência \Gamma.

Passo 3

Reconhecer que a condição
|XO| - |XP| = r
define um ramo de hipérbole H com focos em O e P. Todo ponto X\in H satisfaz que a diferença das distâncias a O e a P vale r.

Passo 4

Construir geometricamente o ramo de hipérbole H (por exemplo, marcando vários pontos T tais que |OT| - |PT| = r e traçando a curva) e, em seguida, determinar suas interseções X_1,X_2 com a reta m.

Passo 5

Para cada ponto de interseção X_i, traçar a circunferência de centro X_i que passe por P. Como |X_iP| será exatamente o raio necessário, cada uma dessas circunferências é tangente a l em P e tangente externamente a \mathcal{C}.

Resposta

As circunferências de centro X em m\cap H e raio \bigl|XP\bigr|, onde H é o ramo de hipérbole com focos em O e P e diferença de distâncias igual a r.

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