Questão 30. Calcule cada uma das integrais triplas dadas.
\iiint_{E} x y z d V, em que E fica entre as esferas \rho=2 e \rho=4 e acima do cone \varphi=\frac{\pi}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E} x\,y\,z\,dV
onde E é o sólido entre as esferas \rho=2 e \rho=4 e “acima” do cone \varphi=\tfrac{\pi}{3} (ou seja, 0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{3} e 0\le\theta\le2\pi). Vamos usar coordenadas esféricas, em que
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Substituindo na integral, o integrando fica
x\,y\,z \;=\;\bigl(\rho\sin\varphi\cos\theta\bigr)\,\bigl(\rho\sin\varphi\sin\theta\bigr)\,\bigl(\rho\cos\varphi\bigr) =\rho^3\sin^2\varphi\cos\varphi\;\cos\theta\,\sin\theta
e junto com o Jacobiano \rho^2\sin\varphi resulta em
\rho^5\,\sin^3\varphi\,\cos\varphi\;\cos\theta\,\sin\theta.
Logo
\iiint_{E}x\,y\,z\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi/3}\!\int_{\rho=2}^{4} \rho^5\sin^3\varphi\cos\varphi\;\cos\theta\sin\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Note que a parte que depende de \theta é
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta =\frac12\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta =0,
pois \sin(2\theta) tem média zero em um período completo. Assim toda a integral tripla vale zero.

Resposta

0

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