Questão 30. Determine o valor de \kappa para que \mu(x, y)=\frac{1}{x^{\kappa} y^{\kappa}} seja um fator integrante para a equaçào diferencial
y d x+x\left(1-3 x^{2} y^{2}\right) d y=0 .

  1. { }^{1} Se a EDO M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 \mathrm{em} que M, N são homogêneas, \mu(x, y)=\frac{1}{x M(x, y)+y N(x, y)} é um fator integrante (verifique).
    { }^{2} \mathrm{O} fator integrante da equação M d x+N d y=y f_{1}(x y) d x+x f_{2}(x y) d y=0 possui um fator integrante da forma \mu(x, y)=\frac{1}{x M-y N}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,dx + x\bigl(1 - 3x^{2}y^{2}\bigr)\,dy = 0
e pede um fator integrante da forma \mu(x,y)=x^{-\kappa}y^{-\kappa}. Para que \mu transforme o 1-forma em exata, precisamos usar a condição
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr),
onde M(x,y)=y e N(x,y)=x(1-3x^{2}y^{2}).

Passo 2

Multiplicando por \mu obtemos
\mu M = x^{-\kappa}y^{-\kappa}\,y = x^{-\kappa}y^{1-\kappa}, \qquad \mu N = x^{-\kappa}y^{-\kappa}\,x(1-3x^{2}y^{2}) = x^{1-\kappa}y^{-\kappa} - 3\,x^{3-\kappa}y^{2-\kappa}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr) = x^{-\kappa}(1-\kappa)\,y^{-\kappa},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr) = (1-\kappa)\,x^{-\kappa}y^{-\kappa} -3(3-\kappa)\,x^{2-\kappa}y^{2-\kappa}.

Passo 4

Impondo exatidão,
x^{-\kappa}(1-\kappa)\,y^{-\kappa} = (1-\kappa)\,x^{-\kappa}y^{-\kappa} -3(3-\kappa)\,x^{2-\kappa}y^{2-\kappa}.
Cancelando o termo comum (1-\kappa)x^{-\kappa}y^{-\kappa} (para \kappa\neq1) sobra
0 = -3(3-\kappa)\,x^{2-\kappa}y^{2-\kappa},
o que exige 3-\kappa=0. Logo

Resposta

\kappa = 3.

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