Questão 31. Calcule a integral, transformando-a para coordenadas esféricas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
transformando para coordenadas esféricas.
Conteúdo: integracão em coordenadas esféricas.
Precisaremos:
Conteúdo: integracão em coordenadas esféricas.
Precisaremos:
- Descrever o domínio
em esféricas . - Expressar
como função de usando - Calcular as integrais em
, e .
Passo 2
Identificamos o domínio
por
- Projeção no plano
: , , (o primeiro quadrante do disco unitário). - Limites em
: .
Em coordenadas esféricas (é o ângulo de para o plano), a condição
; vira
A condição de estar dentro da esfera
dá
.
E o primeiro quadrante em impõe
de
a
.
Logo, em esféricas:
E o primeiro quadrante em
Logo, em esféricas:
Passo 3
O integrando
e o elemento de volume viram
Assim a integral torna-se
Passo 4
Como o integrando é produto de funções separadas, separamos as integrais:
Passo 5
Calculamos cada parte:
-
-
-
Com, , de ( ) até ( ):
Passo 6
Multiplicando os três resultados: