Questão 31. Calcule a integral, transformando-a para coordenadas esféricas.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}+y^{2}}} x y d z d y d x .[

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}}\!\int_{\sqrt{x^2 + y^2}}^{\sqrt{2 - x^2 - y^2}} x\,y \,dz\,dy\,dx
transformando para coordenadas esféricas.
Conteúdo: integracão em coordenadas esféricas.
Precisaremos:
  1. Descrever o domínio D em esféricas (\rho,\varphi,\theta).
  2. Expressar x\,y\,dV como função de \rho,\varphi,\theta usando x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  3. Calcular as integrais em \rho, \varphi e \theta.

Passo 2

Identificamos o domínio D por
  • Projeção no plano xy: x\ge0, y\ge0, x^2+y^2\le1 (o primeiro quadrante do disco unitário).
  • Limites em z: \sqrt{x^2+y^2}\le z\le\sqrt{2-(x^2+y^2)}.
    Em coordenadas esféricas ( \varphi é o ângulo de z para o plano), a condição
    \;z\ge\sqrt{x^2+y^2}; vira
\rho\cos\varphi \ge \rho\sin\varphi \;\Longrightarrow\;\varphi\le \frac\pi4.
A condição de estar dentro da esfera x^2+y^2+z^2\le2 \rho\le\sqrt2.
E o primeiro quadrante em xy impõe
\theta de 0 a \frac\pi2.
Logo, em esféricas:
0\le\theta\le\frac\pi2,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi4,\quad 0\le\rho\le\sqrt2.

Passo 3

O integrando x\,y e o elemento de volume viram
x\,y\,dV = (\rho\sin\varphi\cos\theta)\,(\rho\sin\varphi\sin\theta)\,\bigl(\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta\bigr) = \rho^4 \,\sin^3\varphi\;\cos\theta\,\sin\theta\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Assim a integral torna-se
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\!\int_{\rho=0}^{\sqrt2} \rho^4\,\sin^3\varphi\,\cos\theta\,\sin\theta \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Como o integrando é produto de funções separadas, separamos as integrais:
\Bigl(\int_{0}^{\sqrt2}\rho^4\,d\rho\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi/4}\sin^3\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta\Bigr).

Passo 5

Calculamos cada parte:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\sqrt2}\rho^4\,d\rho = \left[\frac{\rho^5}{5}\right]_{0}^{\sqrt2} = \frac{(\sqrt2)^5}{5} = \frac{2^{5/2}}{5} = \frac{4\sqrt2}{5}.
  2. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin\theta\,d\theta = \frac12\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta = \frac12\Bigl[-\tfrac12\cos(2\theta)\Bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac12\cdot1 = \frac12.
  3. \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\sin^3\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,(1-\cos^2\varphi)\,d\varphi.
    Com u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, de \varphi=0 ( u=1) até \varphi=\pi/4 ( u=\tfrac{\sqrt2}2):
    \int_{u=1}^{\sqrt2/2}(1-u^2)(-du) = \int_{\sqrt2/2}^{1}(1-u^2)\,du = \bigl[u-\tfrac{u^3}{3}\bigr]_{\sqrt2/2}^{1} = \Bigl(1-\tfrac13\Bigr) -\Bigl(\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{(\sqrt2/2)^3}{3}\Bigr) = \frac23 - \frac{5\sqrt2}{12} = \frac{8-5\sqrt2}{12}.

Passo 6

Multiplicando os três resultados:
\frac{4\sqrt2}{5}\;\times\;\frac{8-5\sqrt2}{12}\;\times\;\frac12 = \frac{4\sqrt2\,(8-5\sqrt2)}{5\cdot12\cdot2} = \frac{32\sqrt2 - 40}{120} = \frac{4\sqrt2 - 5}{15}.

Resposta

\boxed{\frac{4\sqrt2 - 5}{15}}.

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