Questão 31. Durante quanto tempo um Capital deve ficar aplicado a juros simples para que ele triplique?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Durante quanto tempo um Capital deve ficar aplicado a juros simples para que ele triplique?”
Informações dadas (explicitadas):
  • O regime é de juros simples.
  • Queremos que o montante final seja três vezes o capital inicial (ou seja, o capital “triplica”).
  • O enunciado não fornece a taxa numérica, portanto usarei uma letra para a taxa de juros por período (taxa por unidade de tempo). Vou chamar essa taxa de \,i.
  • Precisamos achar o tempo \,t (em unidades de período compatíveis com \,i) que faz o capital triplicar.

Passo 2

Apresentando a fórmula de juros simples e explicando cada termo.
Em juros simples, o montante \,M (valor final) obtido aplicando um capital \,C durante \,t períodos a uma taxa \,i por período é dado por:
M = C\,(1 + i\,t).
Explicação das variáveis:
  • \,C é o capital inicial (o valor que você aplica).
  • \,i é a taxa de juros por período (ex.: 0,05 para 5\% ao período). É importante que \,i esteja em forma decimal quando usada nos cálculos (veja passo seguinte).
  • \,t é o número de períodos que o capital fica aplicado — é a incógnita que queremos achar.
  • \,M é o montante final (capital + juros).

Passo 3

Traduzindo “triplicar” para uma equação usando a fórmula.
Triplicar significa que o montante \,M é três vezes o capital \,C, ou seja:
M = 3C.
Agora igualamos essa condição à fórmula de juros simples:
3C = C\,(1 + i\,t).

Passo 4

Simplificando a equação para isolar \,t.
Primeiro, podemos dividir ambos os lados da igualdade por \,C (assumindo C\neq 0), reduzindo a equação:
3 = 1 + i\,t.
Agora isolamos \,i\,t subtraindo 1 dos dois lados:
3 - 1 = i\,t.
Logo:
2 = i\,t.
Finalmente, resolvemos para \,t dividindo ambos os lados por \,i:
t = \frac{2}{i}.

Passo 5

Interpretação e cuidados práticos.
  • A fórmula final é \;t=\dfrac{2}{i}\;. Isso significa que o tempo necessário para o capital triplicar é duas unidades de tempo divididas pela taxa por unidade de tempo.
  • Importante: \,i deve estar em forma decimal. Por exemplo, se a taxa for 5\% ao período, então \,i=0,05. Se você usar \,i em porcentagem (ex.: 5\%), converta antes: \,5\% = 0,05.
  • A unidade de \,t será a mesma unidade usada para \,i. Se \,i é “ao mês”, t fica em meses; se \,i é “ao ano”, t fica em anos.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar (mostrando como aplicar a fórmula na prova).
Exemplo 1: se \,i=0,10 (ou 10\% ao período), então
t=\frac{2}{0,10}=20
ou seja, 20 períodos.
Exemplo 2: se \,i=0,05 (ou 5\% ao período), então
t=\frac{2}{0,05}=40
ou seja, 40 períodos.
Esses exemplos mostram que quanto menor a taxa, mais tempo leva para triplicar; quanto maior a taxa, menos tempo.

Passo 7

Dica final para a prova (modo amigo e prático): sempre escreva a equação 3C=C(1+it), cancele o C, isole t e verifique se você está usando i em decimal. Respire fundo, faça as contas passo a passo — funciona sempre.

Resposta

t=\frac{2}{i}

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