Queståo 2 (31 pontos) - Em um evaporador se concentram 20.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução de 10 \% para 50 \% \mathrm{~cm} peso. 0 vapor de aquecimento é vapor de água saturado a 130^{\circ} \mathrm{C} e na cámara de evaporação se mantém uma pressâo absoluta de 1 bar ( 100 kPa ). A elevação do ponto de ebulição da solução é de 10^{\circ} \mathrm{C} e o calor especifico da solução na alimentação é de 3.55 \mathrm{kJkg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. A solução entra no everomdor a 25^{\circ} \mathrm{C} e o valor estimado do coeficiente global e 2090 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Considerando calor de diluiçảo desprézivel, calcule:
a) O vapor necessairio para concentrar a solução, \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{h}(24 \mathrm{pts});
b) A àrea de troca térmica ( 7 pts ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) a massa de vapor necessária para concentrar a solução, em \mathrm{kg/h}; (b) a área de troca térmica necessária, em \mathrm{m^2}.\n
Dados fornecidos (vou listar todos, com as unidades):
\dot m_f = 20000\\ \mathrm{kg/h}
x_f = 0,10\quad(\text{fração mássica de soluto na alimentação})çãáçã
x_p = 0,50\quad(\text{fração mássica de soluto no produto})çãá
T_{in} = 25^\circ\mathrm{C}
T_{sat,steam} = 130^\circ\mathrm{C}\\ (\text{vapor de aquecimento})
p_{evap} = 1\\ \mathrm{bar}\\ (100\\ \mathrm{kPa})
\Delta T_{eb} = 10^\circ\mathrm{C}\\ (\text{elevação do ponto de ebulição})çãçã
c_p = 3{,}55\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)}\\ (\text{calor específico da solução})íçã
U = 2090\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}
Considerações adicionais extraídas do enunciado:
  • Calor de diluição desprezível (já indicado).
  • Pressão de 1 bar → temperatura de ebulição da água pura 100^\circ\mathrm{C}. Com elevação de ebulição de 10^\circ\mathrm{C}, a temperatura de ebulição da solução será 110^\circ\mathrm{C}.
  • Assumo que o vapor gerado é água pura (todo o solvente evaporado) e que o vapor de aquecimento condensa e depois o condensado pode esfriar até 110^\circ\mathrm{C} (isto será usado no balanço energético).

Passo 2

Conservação de massa do soluto (passo clássico e essencial). A massa de soluto na alimentação é igual à massa de soluto no produto (o vapor é água pura, sem soluto). Escrevo:
\dot m_f x_f = \dot m_p x_p
Mas \dot m_p = \dot m_f - \dot m_v, onde \dot m_v é a massa de água evaporada (vapor gerado) em \mathrm{kg/h}. Substituindo:
\dot m_f x_f = (\dot m_f - \dot m_v)\,x_p
Isolando \dot m_v:
\dot m_v = \frac{\dot m_f (x_p - x_f)}{x_p}
Agora calculo numericamente:
\dot m_v = \frac{20000\cdot(0{,}50-0{,}10)}{0{,}50} = \frac{20000\cdot 0{,}40}{0{,}50}=20000\cdot 0{,}8=16000\\ \mathrm{kg/h}
Portanto a massa de água que deve ser evaporada da solução é \dot m_v=16000\\ \mathrm{kg/h}. (Isto já responde a quanto de solvente sai; a massa de vapor de aquecimento necessária será calculada pelo balanço energético.)

Passo 3

Montagem do balanço de energia (explicando o raciocínio didaticamente). A energia necessária para realizar a concentração tem duas contribuições principais:
  1. aquecer a alimentação de T_{in}=25^\circ\mathrm{C} até a temperatura de ebulição da solução T_b=110^\circ\mathrm{C} (calor sensível);
  2. fornecer calor de vaporização para evaporar \dot m_v de água à temperatura de ebulição 110^\circ\mathrm{C} (calor latente).
Expressão do calor total requerido por hora (em \mathrm{kJ/h} se usarmos c_p em \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)} e fluxos em \mathrm{kg/h}):
Q_{req} = \dot m_f\, c_p\,(T_b - T_{in}) \;+\; \dot m_v\, \lambda_{110}
onde \lambda_{110} é o calor latente de vaporização da água à 110^\circ\mathrm{C} (em \mathrm{kJ/kg}). Vou explicar como escolhi valores para \lambda_{110} e para a energia que cada kg de vapor de aquecimento fornece: o vapor é saturado a 130^\circ\mathrm{C}, ao condensar fornece o calor latente correspondente à sua condensação à 130^\circ\mathrm{C}, e se o condensado esfriar de 130^\circ\mathrm{C} até 110^\circ\mathrm{C} libera ainda calor sensível adicional. Portanto, a energia disponível por kg de vapor de aquecimento será aproximadamente
e_{steam} = \lambda_{130} + c_{p,\ell}\,(130-110)
com c_{p,\ell} calor específico do líquido (água) ≈ 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)}. Em muitos problemas de evaporação usa-se esse procedimento (latent + resfriamento do condensado até T_b).
Como o enunciado não fornece tabelas de vapor, uso valores típicos de tabela de vapor aproximados (isso é normal em provas; se houver tabela use-a). Valores adotados (aproximação razoável):
\lambda_{110}\approx 2227\\ \mathrm{kJ/kg}
\lambda_{130}\approx 2167\\ \mathrm{kJ/kg}
Esses valores vêm de tabelas de vapor (o calor latente diminui com a temperatura). O resfriamento do condensado de 130 até 110^\circ\mathrm{C} dá:
c_{p,\ell}(130-110)=4{,}18\cdot 20 = 83{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}
Logo:
e_{steam} \approx 2167 + 83{,}6 = 2250{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}

Passo 4

Calculo do calor sensível para aquecer a alimentação (em \mathrm{kJ/h}):
Q_{sens}=\dot m_f\,c_p\,(T_b-T_{in}) = 20000\cdot 3{,}55\cdot(110-25)
T_b-T_{in}=85^\circ\mathrm{C},\quad 3{,}55\cdot 85=301{,}75\\ \mathrm{kJ/kg}
Q_{sens}=20000\cdot 301{,}75 = 6\,035\,000\\ \mathrm{kJ/h}

Passo 5

Calculo do calor latente necessário para evaporar \dot m_v:
Q_{lat}=\dot m_v\,\lambda_{110} = 16000\cdot 2227 = 35\,632\,000\\ \mathrm{kJ/h}

Passo 6

Calor total requerido por hora:
Q_{req}=Q_{sens}+Q_{lat}=6\,035\,000 + 35\,632\,000 = 41\,667\,000\\ \mathrm{kJ/h}

Passo 7

Massa de vapor de aquecimento necessária: cada kg de vapor fornece e_{steam} kJ (latente a 130^\circ\mathrm{C} mais resfriamento do condensado até 110^\circ\mathrm{C}). Assim
\dot m_s = \frac{Q_{req}}{e_{steam}} = \frac{41\,667\,000}{2250{,}6}\\ \mathrm{kg/h}
Faço a divisão:
\dot m_s \approx 18\,518\\ \mathrm{kg/h}
(Arredondando, \dot m_s\approx 1{,}85\times 10^4\\ \mathrm{kg/h}.)
Observação didática: se tivéssemos assumido que o condensado sai sem resfriar até 110^\circ\mathrm{C} (isto é, não aproveitássemos o calor sensível do condensado), obteríamos um valor de vapor um pouco maior; incluir o resfriamento do condensado é a forma correta de contabilizar toda a energia disponível por kg de vapor.

Passo 8

Cálculo da área de troca térmica. Fórmula básica:
A = \frac{\dot Q}{U\,\Delta T_{lm}}
onde \dot Q é a taxa de calor em \mathrm{W} e \Delta T_{lm} é a diferença logarítmica média de temperatura (LMTD). Primeiro converto Q_{req} para \mathrm{W}:
Q_{req} = 41\,667\,000\\ \mathrm{kJ/h} = \frac{41\,667\,000}{3{,}6}\\ \mathrm{kW} = 11\,574{,}167\\ \mathrm{kW} = 11\,574\,167\\ \mathrm{W}
(ou simpler: dividir kJ/h por 3{,}6 para obter kW.)
Para a LMTD: o vapor de aquecimento tem temperatura praticamente constante T_s=130^\circ\mathrm{C}. A solução entra a 25^\circ\mathrm{C} e sai a 110^\circ\mathrm{C}. As diferenças de temperatura nas extremidades são:
\Delta T_1 = T_s - T_{out} = 130 - 110 = 20^\circ\mathrm{C}
\Delta T_2 = T_s - T_{in} = 130 - 25 = 105^\circ\mathrm{C}
A LMTD é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln(\Delta T_2/\Delta T_1)} = \frac{105-20}{\ln(105/20)}
Calculo numérico:
\ln(105/20)=\ln(5{,}25)\approx 1{,}6487
\Delta T_{lm} \approx \frac{85}{1{,}6487}\approx 51{,}58^\circ\mathrm{C}
Agora a área:
A=\frac{11\,574\,167}{2090\cdot 51{,}58}
Calculo do denominador: 2090\cdot 51{,}58\approx 107\,752\\ \mathrm{W/(m^2)}. Logo
A\approx \frac{11\,574\,167}{107\,752}\approx 107{,}4\\ \mathrm{m^2}

Passo 9

Resumo numérico (arredondamentos finais e interpretação):
  • Vapor gerado da solução (água evaporada): \dot m_v=16000\\ \mathrm{kg/h} (resultado do balanço de massa).
  • Vapor de aquecimento necessário (que condensa e fornece calor): \dot m_s\approx 18{,}518\\ \mathrm{kg/h}.
  • Área de troca térmica necessária: A\approx 107{,}4\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

(a) \; \dot m_s \approx 18\,518\\ \mathrm{kg/h}\n
(b) \; A \approx 107{,}4\\ \mathrm{m^2}

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