Questão 31. Sejam
um anel com identidade e
um ideal em A. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num anel
com elemento identidade
e ideal
, vale
Vamos usar a definição de ideal (fechado sob soma e tal que
).
Passo 2
Se
, então todo elemento de
está em
. Em particular, como
, segue imediatamente que
Passo 3
Suponha agora que
. Para provar
, tome um
qualquer. Como
é ideal e
, temos
Portanto
. Como sempre vale
, concluímos
.
Resposta
Ficou demonstrado que
se, e somente se,
.